平面向量的数量积与平面向量应用举例

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝( ) A．－6 C．5

B．10 D．10

解析：选D ∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b， ∴－4－2x＝0，x＝－2， ∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D.

2．(2018·浙江名校联考)已知向量a＝(1＋m,1－m)，b＝(m－1，2m＋1)，m∈R，则“m＝0”是“a⊥b”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A a⊥b?(1＋m)(m－1)＋(1－m)(2m＋1)＝0?m(m－1)＝0?m＝0或m＝1，所以“m＝0”是“a⊥b”的充分不必要条件．

3．(2019·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为( )

πA. 62πC. 3

πB. 35πD. 6

解析：选B 因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－a·ba·b1a2

2a·b＝0，b－2a·b＝0，所以b＝a，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝2＝.因为〈a，b〉∈

2|a||b||a|2

2

2

2

π

[0，π]，所以〈a，b〉＝. 3

4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________；|a|＝________.

解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)， ∵(a＋b)⊥(a－b)，

∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0， ∴m＝－2.

∴a＝(－1，－3)，|a|＝?－1?2＋?－3?2＝10. 答案：－2

10

2π―→―→―→―→

5．△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝1，DC＝2BD，则AD·BC＝________.

3―→―→―→1―→―→

解析：由DC＝2BD，得AD＝(AC＋2AB)．

3―→―→1―→―→―→―→∴AD·BC＝(AC＋2AB)·(AC－AB)

31―→―→―→―→＝(AC2＋AC·AB－2AB2) 312?－1?－2×22?＝－8. ＝?1＋1×2×?2??3?38答案：－

3

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( ) A.2 C．2

B．3 D．4

解析：选C 由已知得2a－b＝(3，x)， 而(2a－b)·b＝0?－3＋x2＝0?x2＝3， 所以|a|＝1＋x2＝4＝2.

―→1―→2．(2018·慈溪中学适应)若正三角形ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB

32―→―→―→＋CA，则MA·MB的值为( ) 3

A．2 C．－2

―→1―→2―→―→―→1―→2―→―→1―→

解析：选D 因为CM＝CB＋CA，所以CA＋AM＝CB＋CA，即AM＝CB－

333331―→1―→1―2―→―→→2―→―→―→―→―→

CA，同理可得BM＝－CB＋CA.所以MA·MB＝AM·BM＝?3CB－3CA?333??→2―→2―2―28→―→→?－2―CB＋CA? ＝－(CB－CA)2＝－AB2＝－×12＝－. 3?3?9993

―→―→―→―→―→3．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．菱形

B．正方形 D．梯形 B．－23 8

D．－

3

―→―→―→―→―→

解析：选C 因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．

―→―→―→―→―→又(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．

1

4．在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒

4―→―→―→―→有PB·PC≥P0B·P0C，则( )

A．∠ABC＝90° C．AB＝AC

B．∠BAC＝90° D．AC＝BC

解析：选D 设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－2,0)，B(2，0)，P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，

―→―→―→―→

∴PB＝(2－x,0)，PC＝(a－x，b)，P0B＝(1,0)，P0C＝(a－1，b)． ―→―→―→―→则PB·PC≥P0B·P0C?(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立， 即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．

∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0. 即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.

5．(2019·宝鸡质检)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，―→―→―→C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN|＝2，则BM·BN的取值范围为( )

3?

A.??2，2? 3?C.??2，2?

3?

B.??2，2? 3

，＋∞? D.??2?

解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.

―→―→

设M(a,2－a)，则0＜a＜1，N(a＋1，1－a)，∴BM＝(a,2－a)，BN＝

1―→―→

(a＋1,1－a)，∴BM·BN＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2，∵0＜a＜1，∴当a＝时，23?3――→―→→―→―→―→

BM·BN取得最小值.又BM·BN＜2，故BM·BN的取值范围为??2，2?. 2

6．(2018·浙江考前热身联考)已知单位向量a，b的夹角为60°，且|c－3a|＋|c＋2b|＝19，则|c＋a|的取值范围为________．

―→―→

解析：如图，记OA＝3a，则点A的坐标为(3,0)，记OB＝－2b，则点B的坐标为(－1，－3)，因为∠AOB＝120°，所以|AB|＝―→

32＋22－2×3×2×cos 120°＝19，记OC＝c，则点C的轨迹为线

段AB.|c＋a|的几何意义是点P(－1,0)到线段AB上的点的距离，其中点P到直线AB的距离