K?⑵ G(s)H(s)?
s(s?1)(s?2)(s?5)① 实轴上的根轨迹：??5,?2?, ??1,0?
0?(?5)?(?2)?(?1)?????2??a4② 渐近线： ?
(2k?1)??3??????,a?444?③ 分离点：
1111????0 dd?1d?2d?5解之得：d1??4.06,d2??0.399,d3??1.54(舍去)；
④ 与虚轴交点：
D(s)?s4?8s3?17s2?10s?K?
令s?j?，带入特征方程，令实部，虚部分别为零
?Re(D(j?))??4?8?2?2K??0
??3Im(D(j?))?(6?K)??5??0?解得： ????0?K?0? ?????1.12?K?19.7?
根轨迹如图解4-5(b)所示。
K?(s?2)
⑶ G(s)H(s)?2s(s?3)(s?2s?2)系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ???,?3?, ??2,0?
?3?(?1?j1)?(?1?j1)?(?2)?????1a??3② 渐近线： ? ???(2k?1)????,?a?33?③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?3)(s2?2s?2)?K?(s?2)
把s?j?代入上方程，令
42???Re(D(j?))???8??2K?0??3??Im(D(j?))?(6?K)??5??0解得： ?④ 起始角
???0?K?0? ?????1.61?K?7.03?
?p3?180??45??90??135??25.57???25.57?
根轨迹如图解4-5(c)所示。
K?(s?1)⑷ G(s)H(s)?
s(s?1)(s2?4s?16)系统根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：???,?1?, ?0,1?
?1?(?2?j3)?(?2?j3)?(?1)2?????a33 ② 渐近线： ?????(2k?1)????,?a?33?③ 分离点：
11111 ????dd?1d?2?j23d?2?j23d?1解得：d1??2.26,d2?0.49,d3、4??0.76?j2.16 (舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?1)(s?4s?16)?K(s?1)?0 把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
42???Re(D(j?))???12??K?0 ??3??Im(D(j?))?(K?16)??3??02?解得： ????0?K?0? ?????1.38?K?21.7? ?????2.66?K?37.3?
⑤ 起始角：
?p3?180??106..1??90??120??130..89???54..79?
由对称性得，另一起始角为 54.79，根轨迹如图解4-5(d)所示。
4-6解（1）闭环特征方程
?D(s)?s2(s?10)(s?20)?K?(s?z)?s4?30s3?200s2?K?s?K?z?0
有 D(j?)?(??200??Kz)?j(K??30?)?0
42?????200??Kz?0令实虚部分别等于零即： ?? 3??K??30??042??3把??1代入得： K?30， z?19930。
（2）系统有五个开环极点：
?p1?0,p2??1,p3??3.5,p4??3?j2,p5??3?j2
① 实轴上的根轨迹：???,?3.5?, ??1,0?
?1?3.5?(?3?j2)?(?3?j2)?????2.1a??5② 渐近线： ?
???(2k?1)????,?3?,?a?555?③ 分离点：
11111?????0 dd?1d?3.5d?3?j2d?3?j2解得： d1??0.45 , d2?2.4 (舍去) , d3、4??3.25?j1.90 (舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?1)(s?3.5)(s?3?j2)(s?3?j2)?K??0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?42??Re(j?)?K?10.5??79.5??0
?53??Im(j?)? ??43.5??45.5??0解得：
????1.02????6.52???0
?? ，??，??（舍去）
?K?0?K?71.90?K??15546.3 ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为
?p4?180?75..96?90?135?146..3?92..74
由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图解4-6所示。
4-9解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ?0.5,7/4? ② 渐近线：
???????图解4-6 根轨迹图 ?1?1?7/4?(?0.5)1????a??24 ?
???(2k?1)????a?22?③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?431210s?s?(2K?)s?K?1?0 777把s?j?代入上方程，令
12?Re(D(j?))?K?1???0?7?104?Im(D(j?))?(2K?)???3?077?图解4-9 根轨迹图 ???0解得： ? ，
?K?1????2??9 ?K?7?根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为 1?K?97。
4-11解 ⑴ s?2s?3s?Ks?2K?0 作等效开环传递函数 G(s)?根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ??2,0? ② 渐近线：
*32K(s?2)。 32s?2s?3s
??1?j2?(?1?j2)?(?2)???0?a?2 ? ???(2k?1)????a?22?③ 起始角：
?p?180??54.74??90??125.26??19.48?
1根轨迹如图解4-11(a)所示。
(2) s3?3s2?(K?2)s?10K?0
*图解4-11(a) 根轨迹图 作等效开环传递函数 G(s)?根轨迹绘制如下：
K(s?10)。 32s?3s?2s① 实轴上的根轨迹：??10,?2?,??1,0?；
?1?2?(?10)????3.5??a2② 渐近线： ?
(2k?1)???????a?22?③ 分离点： 解得
1111??? dd?1d?2d?10d1??0.4344,d2??14.4752(舍),d3??1.5904(舍) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
图解4-11(b) 根轨迹图 D(s)?s3?3s2?(K?2)s?10K?0
把s=j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2??Re(D(j?))?10K?3??0 ?3??Im(D(j?))?(K?2)????0试根可得：
???0 ?
K?0?????1.69? 6?K??7?根轨迹如图解4-11(b)所示。
4-13解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： ??2,0?, [1,??)； ② 分离点：
?111 ??dd?2d?1解得：d1??0.732 , d2?2.732
将s?d1??0.732, s?d2?2.732代入幅值条件得
?K?d1?0.54, Kd2?7.46
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?2)?K?(1?s)?0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2???Re(D(j?))????K?0 ????Im(D(j?))?(2?K)??0???0解得： ??
?K?0????1.41 ???K?2?图解4-13 根轨迹图 根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.54，7.46，产生纯虚根的K为2。
4-14解 （1）做等效开环传递函数
G(s)???b(s?4) 2s?4s?20① 实轴上的根轨迹：(??,?4] ② 分离点：
111??
d?2?j4d?2?j4d?4图解4-14(a) 根轨迹图 解得：d1??0.472(舍去)，d2?8.472
如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当b?2时，两个闭环特征根为?1,2??3?j4.24。 此时闭环传递函数为