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=，量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

?m T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

e?1以及 ?v?c， （2）

?vdv???vd?， （3）

有

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）

dvd??c?d??????v(?)??d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

?hc1????6?hc?5??hc???kT??e?kT?1?1?e?kThc1??0 ? ?5?hc??kT1?e?kThc?hc?kT)? ? 5(1?e?kThc如果令x= ，则上述方程为

?kT5(1?e?x)?x

'8?hc1???0 ???这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一

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个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

?mT?把x以及三个物理常量代入到上式便知

hc xk?mT?2.9?10?3m?K

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

E=hv，

?2如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec），那么

p2 E?2?e如果我们考察的是相对性的光子，那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?10eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有

6P?h

??

h p

???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了

m

hc?1.24?10?6eV?m

以及

?ec2?0.51?106eV

最后，对

??hc2?ecE2

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒

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子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是E?长。

解 根据

3，求T=1K时，氦原子的德布罗意波kT（k为玻耳兹曼常数）

21k?K?10?3eV，

知本题的氦原子的动能为

E?显然远远小于?核c这样，便有

233kT?k?K?1.5?10?3eV, 22???hc2?核cE2

1.24?10?69?32?3.7?10?1.5?10?0.37?10?9m?0.37nm这里，利用了

m

?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为

??hc2?cE2?hc2?kcT2

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB?9?10并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为

?24J?T?1，试计算运能的量子化间隔△E，

?pdq?nh

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