量子力学课后答案 下载本文

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=,量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比,即

?m T=b(常量);

并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

e?1以及 ?v?c, (2)

?vdv???vd?, (3)

8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv, (1)

dvd??c?d??????v(?)??d?

?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时,??取得极大值,因此,就得要求?? 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作?m。但要注意的是,还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的?m就是要求的,具体如下:

?hc1????6?hc?5??hc???kT??e?kT?1?1?e?kThc1??0 ? ?5?hc??kT1?e?kThc?hc?kT)? ? 5(1?e?kThc如果令x= ,则上述方程为

?kT5(1?e?x)?x

'8?hc1???0 ???这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一

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个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有

?mT?把x以及三个物理常量代入到上式便知

hc xk?mT?2.9?10?3m?K

这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知

E=hv,

?2如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(E动???ec),那么

p2 E?2?e如果我们考察的是相对性的光子,那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即0.51?10eV,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有

6P?h

??

h p

???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nm在这里,利用了

m

hc?1.24?10?6eV?m

以及

?ec2?0.51?106eV

最后,对

??hc2?ecE2

作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒

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子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。

1.3 氦原子的动能是E?长。

解 根据

3,求T=1K时,氦原子的德布罗意波kT(k为玻耳兹曼常数)

21k?K?10?3eV,

知本题的氦原子的动能为

E?显然远远小于?核c这样,便有

233kT?k?K?1.5?10?3eV, 22???hc2?核cE2

1.24?10?69?32?3.7?10?1.5?10?0.37?10?9m?0.37nm这里,利用了

m

?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV

最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相庆的德布罗意波长就为

??hc2?cE2?hc2?kcT2

据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求:

(1)一维谐振子的能量;

(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T,玻尔磁子MB?9?10并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为

?24J?T?1,试计算运能的量子化间隔△E,

?pdq?nh

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