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1．2.1 正、余弦定理在实际中的应用

测量中的基本术语 [提出问题]

李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中． 问题1：李尧家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向．

问题2：能否用角度再进一步确定其方位？ 提示：可以，南偏东45°或东偏南45°. [导入新知]

实际测量中的有关名称、术语 称 基线 仰角 定义 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方方向角 向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 图示 俯角 鼎尚出品

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方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 [化解疑难] 解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.

测量高度问题 [例1] 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在

C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔

高AB.

[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.

在△BCD中，由余弦定理可得

CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，

即200＝h＋(3h)－2·h·3h·

2

2

2

2

2

3

， 2

所以h＝200，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB为200米． [类题通法]

测量高度问题的要求及注意事项

(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．

(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．

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[活学活用]

(湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°， ∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 600BC又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，

sin 45°sin 30°解得BC＝3002 m.

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×答案：1006

测量角度问题 [例2] 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以103 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？

[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD＝103t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得

3

＝100 6(m)． 3

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC

＝(3－1)＋2－2·(3－1)·2·cos 120° ＝6， ∴BC＝6，

且sin ∠ABC＝·sin ∠BAC＝2

2

ACBC26

·

32＝. 22

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∴∠ABC＝45°. ∴BC与正北方向垂直． ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 sin ∠BCD＝

BD·sin ∠CBD10tsin 120°1

＝＝，

CD2103t∴∠BCD＝30°.

即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船． [类题通法]

解决追及问题的步骤

(1)把实际问题转化为数学问题；

(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；

(3)最后把数学问题还原到实际问题中去． [活学活用]

某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰

立即以103 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时．在△ABC中，根据余弦定理，有

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，

可得(103t)＝10＋(10t)－2×10×10tcos 120°， 12

整理得2t－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．

2所以护航舰靠近货船需要1小时． 此时AB＝103，BC＝10， 又AC＝10，所以∠CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°.

2

2

2

1.探究距离测量问题

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