二 用数学归纳法证明不等式举例
学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)
教材整理 用数学归纳法证明不等式 阅读教材P50～P53，完成下列问题． 1．贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)>1＋nx. 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
用数学归纳法证明“2＞n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值
n2
nn0应取( )
A．2 C．5
B．3 D．6
C [n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.]
数学归纳法证明不等式 111n【例1】 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
23n2[精彩点拨] 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
111252
[自主解答] (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，
234122即n＝2时命题成立．
111k(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋. 2322当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋1
2131211＋…＋k＋1 2＋12
kk111
>1＋＋k＋k＋…＋k＋1
22＋12＋22
2k1k＋1
>1＋＋k＝1＋＋＝1＋. k22＋2222故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．
2
11
此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为k的后一项为k＋1，实221111kk＋1
际上应为k；二是k＋k＋…＋k＋1共有多少项之和，实际上 2＋1到2是自然数
2＋12＋12＋22递增，项数为2
k＋1
kkn－(2＋1)＋1＝2.
kk1111
1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，
23n23nf(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．
2
2
13n[解] 数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2－1，数列，1，，2，…，通项公式为an22＝，
2
∴猜想：f(2－1)>.
2下面用数学归纳法证明：
11
①当n＝1时，f(2－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．
2②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即f(2－1)>，
2当n＝k＋1时，f(2
k＋1
knnnk1111kk－1)＝f(2－1)＋k＋k＋…＋k＋1＋k＋1>f(2－1)＋
22＋12－22－1
111k1k＋1k＋…＋k＋1＝f(2－1)＋>＋＝. 2＋122222
k∴当n＝k＋1时不等式也成立． 据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立． 【例2】 证明：2＋2>n(n∈N＋)．
[精彩点拨] 验证n＝1，2，3时不等式成立?
n2
假设n＝k成立，推证n＝k＋1?n＝k＋1成立，结论得证
[自主解答] (1)当n＝1时，左边＝2＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n＝2时，左＝2＋2＝6，右＝2＝4，所以左>右； 当n＝3时，左＝2＋2＝10，右＝3＝9，所以左>右． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2＋2＞k(k∈N＋)． 当n＝k＋1时，2
2
2
3
2
2
2
1
k2
k＋1
＋2＝2·2＋2＝2(2＋2)－2>2k－2
2
kk2
＝k＋2k＋1＋k－2k－3＝(k＋1)＋(k＋1)(k－3)， ∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0， ∴(k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)， 所以2
k＋1
2
2
＋2>(k＋1).
2
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．
1．本例中，针对目标k＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．
1??1??1??2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式?1＋??1＋?…?1＋?＞
?3??5??2n－1?2n＋1
均成立． 2
145
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
332∵左边＞右边，∴不等式成立；
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立， 1?2k＋1?1??1??即?1＋??1＋?…?1＋＞. ?2?3??5??2k－1?则当n＝k＋1时，
2