第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 计 算 方 法 性 质 不 定 积 分 的 概 念 设主要内容 f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分，记为 或dF(x)?f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则f(x)连续，则必可积；F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性质1：性质2：性质3： 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 d?f(x)dx??f(x)dx； f(x)dx??f(x)或d???????dx?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，则 f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(??1(x))?C 分部积分法 ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

1

★(1)

?xdx2x

思路: 被积函数 1x2x?52?x?52，由积分表中的公式（2）可解。

解：

?xdx22?2??xdx??x?C

3x1x)dx

3★(2)

3?(x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

3解：?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x3??11312131241★(3)（2?x?x2）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)

??x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：

2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx

3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x?1x?1分。

3x4?3x2?112dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx

x2x2?1?11??1?思路:注意到

1?x21?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

2

x21dx?dx?解：???1?x2dx?x?arctanx?C.

1?x2注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)（?x134-+-）dx 2xx3x4思路:分项积分。 解：（-x13411?3?4+-）dx?xdx?dx?3xdx?4xdx ?2xx3x4????2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 42332(??1?x21?x2)dx

★(8)

思路:分项积分。 解：(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 2??221?x21?x1?x1?x★★(9)

?xxxdx

xxx?？看到xxx?x7815111??248思路:解：

?x78，直接积分。

?8xxxdx??xdx?x8?C.

151?x2(1?x2)dx

★★(10)

思路:裂项分项积分。 解：

111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xxe?1e?1★★(12)

?3edx

xxxxx（3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e? 3