★★(19)
?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2，应用公式(5)即可。
思路:注意到被积函数
解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.
21?x1?x1?x1?cos2x★★(20)?1?cos2xdx
思路:注意到被积函数
1?cos2x1?cos2x112??secx?，则积分易得。 21?cos2x222cosx1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设
?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。
d[f(x)dx]?f(x)即可。 dx?知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：
xf(x)??★3、设
11?x2,?f(x)??1x1?x2
f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，f(x)?sinxdx??cosx?C1
所以
?f(x)的原函数全体为：?（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。
ex12xxx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数
chx-shx2知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
exd1dd?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x 解：Qchx?shxdx2dxdx★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
5
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积
函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：
又点(e2d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1，
所以曲线的方程为
f(x)?ln|x|?1.
2★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t(m/s)，问：
（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的
关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)，
则由速度和位移的关系可得：
d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dtf(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。
又因为物体是由静止开始运动的，?(1)
3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米；
3(2)令t?360?t?3360秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5
1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）
3te?dt
6
思路:凑微分。 解：edt?★(2)
?3t13t13ted(3t)?e?C 3?33?(3?5x)dx
3思路:凑微分。
311解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??(3?5x)4?C
5201★(3)?3?2xdx
思路:凑微分。 解：
1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x?23?2x2★(4)
?135?3xdx
思路:凑微分。
12?11111dx???3d(5?3x)???(5?3x)3d(5?3x)??(5?3x)3?C. 解：?335?3x325?3x★(5)
?(sinax?exb)dx
xx思路:凑微分。
1x1解：?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C
aba★★(6)
xb?costtdt
12t思路:如果你能看到d(t)?dt，凑出d(t)易解。
解：
?costtdt?2?costd(t)?2sint?C
★(7)
102tanxsecxdx ?思路:凑微分。 解：tan★★(8)
?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
7
解：
dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C
2tan1?x?★★(9)
xdx1?x2
思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！
解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C
★★(10)
dx?sinxcosx
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。
dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C
方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C
方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。
22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx
??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C
★★(11)
dx?ex?e?x
。
dxexdxdexdex思路:凑微分：x?2x???x2xe?ee?11?e1?(ex)2dxexdxdex解：?x??2x???arctanex?C ?xx2e?ee?11?(e)★(12)
2xcos(x)dx ?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)
?21122cosxdx?sinx2?C ?22?xdx2?3x2
8