定积分与不定积分 下载本文

思路:由1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C

6632?3x22?3x2解:

?xdx★★(14)

?cos22(?t)sin(?t)dt

11思路:凑微分。

解:cos(?t)sin(?t)dt???2cos?(?t)sin(?t)d?t???2cos?(?t)dcos(?t)

??1cos3(?t)?C. 3?3x3★★(15)?1?x4dx

思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解:444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)

sinx?cos3xdx

思路:凑微分。 解:

sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)

?x92?xx920dx

思路:经过两步凑微分即可。 解:

?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x102)21x10d?arcsin()?C

2102x10★★(18)

?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解:

?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

9

12x11d??d4x222x2389?4x1?()3112x11 ??d??d(9?4x2)222x2389?4x1?()312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)

12?dx?2x2?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:

dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx

??1221?(11?)d2x2x?12x?11111d(2x?1)?d(2x?1)?ln?2x?1222x?1222x?1?C.2x?1

22?★(20)

xdx?(4?5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解:

xdx14?5x?4111??()dx?(?4)d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.

25?4?5x25?(4?5x)225254?5x?x2dx★(21)?(x?1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1??(?2?)dx 解:?100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1)

(x?1)98(x?1)99(x?1)100111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 10

★★(22)

xdx?x8?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:

xdxxdx111111??(?)xdx?(?)dx2 44?x8?1?(x4?1)(x4?1)?2x4?1x4?1?4x?1x?11111111122[(?)?]dx?[d(x?1)?d(x2?1)]22422???42x?1x?1x?18x?1x?1 2111x?11??22dx2?ln|2|?arctanx2?C.4(x)?18x?14?★(23)

3cos?xdx

思路:凑微分。cosxdx?dsinx。

解:cos3xdx?cos2x?cosxdx?cos2xdsinx?(1?sin2x)dsinx

????1?sinx?sin3x?C

3★★(24)

?cos22(?t??)dt

1?cos2(?t??)11dt?dt???24??cos2(?t??)d2(?t??)

2思路:降幂后分项凑微分。 解:cos(?t??)dt??11?t?sin2(?t??)?C 24?★★★(25)

?sin2xcos3xdx

111(sin5x?sinx)dx?sin5xd5x?sinxdx ?2??102思路:积化和差后分项凑微分。 解:sin2xcos3xdx????11cos5x?cosx?C 102★★★(26)

?sin5xsin7xdx

111(cos2x?cos12x)dx?cos2xd2x?cos12xd(12x) ?2??424思路:积化和差后分项凑微分。 解:sin5xsin7xdx??11?sin2x?sin12x?C. 424★★★(27)

?tan33xsecxdx

思路:凑微分tanxsecxdx?dsecx。

解:tanxsecxdx?tanx?tanxsecxdx?tanxdsecx?(secx?1)dsecx

??2?2?2 11

1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C

3★★(28)

?10arccosx1?x2dx

思路:凑微分11?x2dx?d(?arccosx)。

解:

?10arccosx1?x2dx???10arccosx10arccosxdarccosx???C.

ln10★★(29)

?(arcsinx)11?x2dx21?x2

思路:凑微分dx?d(arcsinx)。

解:

?(arcsinx)?dx21?x2??darcsinx1???C 2arcsinx(arcsinx)★★★★(30)

arctanxx(1?x)dx

2arctanx1?(x)2思路:凑微分arctanxx(1?x)dx?dx?2arctanxd(arctanx)。

解:

?arctanxx(1?x)dx??2arctanx1?(x)2dx??2arctanxd(arctanx)

?(arctanx)2?C

★★★★(31)

lntanx?cosxsinxdx

2思路:被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出tanx,即被积函数中凑出secx,

lntanxlntanxlntanx2lntanxdx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)

2lntanxlntanxlntanxdx??dx?解:??tanxdtanx??lntanxd(lntanx) cosxsinxcos2xtanx1?(lntanx)2?C 2 12