定积分与不定积分 下载本文

?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx?x2sinx?2xcosx?2sinx?C

★(4)

2?x(x?1)edx ?思路:分项后分部积分即可。

解:(x2?1)e?xdx?x2e?xdx?e?xdx?x2d(?e?x)?e?xdx

???????e?xx2?2?xe?xdx??e?xdx??e?xx2?2?xd(?e?x)??e?xdx??ex?2xe?x2?x?2?edx??edx??ex?2xe?x?x?x2?x?3?edx?x

??e?x(x2?2x?3)?C.

★(5)

?xln(x?1)dx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

12121x2dx 解:?xln(x?1)dx??ln(x?1)d(x)?xln(x?1)-?222x?1?12111111xln(x?1)??(x?1?)dx?x2ln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C. 22x?12422★(6)

?e?xcosxdx

思路:严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解:Qe?xcosxdx?cosxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinxdx

?????e?xcosx??sinxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdxe?x??ecosxdx?(sinx?cosx)?C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数,求?xf?(x)dx。

x?x

知识点:考察原函数的定义及分部积分法的练习。

思路分析:积分 xf?(x)dx中出现了f?(x),应马上知道积分应使用分部积分, 条件告诉你

?sinxxf(x)的原函数,应该知道?f(x)dx?sinx?C. x解:Qxf?(x)dx?xd(f(x))=xf(x)?又Q???f(x)dx

sinxxcosx?sinxxcosx?sinx?C,?f(x)?,?xf(x)?; 2?xxxxcosx?sinxsinx2??xf?(x)dx???C?cosx?sinx?C

xxxf(x)dx?★★4、已知

exf(x)=x,求

?xf??(x)dx。

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知识点:仍然是分部积分法的练习。

思路分析:积分xf??(x)dx中出现了f??(x),应马上知道积分应使用分部积分。 解:Qxf??(x)dx?xd(f?(x))?xf?(x)?????f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C.

exxex?exex(x?1)ex(x?1),?f?(x)=?,?xf?(x)=; 又Qf(x)=22xxxxex(x?1)exex(x?2)??xf??(x)dx???C??C.

xxx★★★★5、设In?dx1cosxn?2,;证明:(n?2)I????In?2。 nn?1?sinnxn?1sinxn?1cosx和In?2 提示我们如何在被积函数的表达式

sinn?1x知识点:仍然是分部积分法的练习。

思路分析:要证明的目标表达式中出现了In,

1cosx1中变出 和 呢?这里涉及到三角函数中1的变形应用,初等数学中有过专门的nn?1n?2sinxsinxsinx介绍,这里1可变为sin22x?cos2x。

2证明:Q1=sinx?cosx

dxsin2x?cos2xcos2xsin2xcos2x1?In??n??dx?dx?dx?dx??sinnx?sinnx?sinnx?sinn?2xdxsinxsinnxcos2xcosx??dx?I?dsinx?In?2n?2nn?sinxsinxcosx?sinx?sinnx?nsinn?1xcos2x?sinx??sinx?dx?In?2n2nsinxsinxcosxcos2xcosx1?sin2x??In?2?n?dx?In?2??In?2?n?dx?In?2sinn-1xsinnxsinn?1xsinnxcosxcosx??I?nI?nI?I??nIn?(n?2)In?2n?2nn?2n?2n?1n?1sinxsinx1cosxn?2?In???n?1?In?2.n?1sinxn?1★★★★6、设

f(x)为单调连续函数,f-1(x)为其反函数,且?f(x)dx?F(x)?C ,

求:

?f?1(x)dx。

知识点:本题考察了一对互为反函数的函数间的关系,还有就是分部积分法的练习。 思路分析:要明白x?f(f解:Q?1(x))这一恒等式,在分部积分过程中适时替换。

?f-1(x)dx=xf-1(x)-?xd(f-1(x))

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又Qx?f(f?1(x))

??f?1(x)dx?f?1(x)??xd(f?1(x))?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))

又Q?f(x)dx?F(x)?C

??f?1(x)dx?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))?f?1(x)?F(f?1(x))?C.

习题4-4

1、 求下列不定积分

知识点:有理函数积分法的练习。

思路分析:被积函数为有理函数的形式时,要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式,若是假分式,

通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后再具体问题具体分析。

x3★(1)?x?3dx

思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。

x3x3?27?2727??x2?3x?9?解:Q x?3x?3x?3x32727??dx??(x2?3x?9?)dx??(x2?3x?9)dx??dxx?3x?3x?3 13?x3?x2?9x?27lnx?3?C.32x5?x4?8★★★(2) ?x3?xdx

思路:被积函数为假分式,先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式,然后分项积分。

x5?x4?8(x5?x3)?(x4?x2)?(x3?x)?x2?x?8x2?x?82??x?x?1?3, 解:Q33x?xx?xx?x而x3?x?x(x?1)(x?1),

x2?x?8ABC???令,等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得:

x3?xxx?1x?1?A?B?C?1?A?8???C?B?1解此方程组得:?B??4 ??C??3A?8?? 27

x5?x4?88432??x?x?1???xx?1x?1x3?xx5?x4?88432??dx?(x?x?1???)dx 3?xx?1x?1x?x11?x3?x2?x?8lnx?4lnx?1?3lnx?1?C32★★★(3)

3?x3?1dx

2思路:将被积函数裂项后分项积分。 解:Qx?1?(x?1)(x?x?1),令

33ABx?C等式右边通分后比较两边分子??32x?1x?1x?x?1x的同次项的系数得:

?A+B=0?A?1???B+C-A=0解此方程组得:?B??1?A+C=3?C?2??

13(2x?1)?31?x?212?3??2??2x?1x?1x?x?1x?113(x?)2?()222

1(2x?1)131??2?x?1(x?1)2?3213(x?)2?()224221(2x?1)31312??3dx??dx??dx??dx123x?1x?1213(x?)?(x?)2?()224221111312)?lnx?1??d((x?)2?)?3?d(12(x?1)2?3243x?242)2?12(3212x?1?lnx?1?ln(x2?x?1)?3arctan()?C.23x?★★★(4)

x?1?(x?1)3dx

思路:将被积函数裂项后分项积分。

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