?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx?x2sinx?2xcosx?2sinx?C
★(4)
2?x(x?1)edx ?思路：分项后分部积分即可。
解：(x2?1)e?xdx?x2e?xdx?e?xdx?x2d(?e?x)?e?xdx
???????e?xx2?2?xe?xdx??e?xdx??e?xx2?2?xd(?e?x)??e?xdx??ex?2xe?x2?x?2?edx??edx??ex?2xe?x?x?x2?x?3?edx?x
??e?x(x2?2x?3)?C.
★(5)
?xln(x?1)dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
12121x2dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d(x)?xln(x?1)-?222x?1?12111111xln(x?1)??(x?1?)dx?x2ln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C. 22x?12422★(6)
?e?xcosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：Qe?xcosxdx?cosxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinxdx
?????e?xcosx??sinxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdxe?x??ecosxdx?(sinx?cosx)?C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。
x?x
知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。
思路分析：积分 xf?(x)dx中出现了f?(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你
是
?sinxxf(x)的原函数，应该知道?f(x)dx?sinx?C. x解：Qxf?(x)dx?xd(f(x))=xf(x)?又Q???f(x)dx
sinxxcosx?sinxxcosx?sinx?C,?f(x)?,?xf(x)?; 2?xxxxcosx?sinxsinx2??xf?(x)dx???C?cosx?sinx?C
xxxf(x)dx?★★4、已知
exf(x)=x，求
?xf??(x)dx。
25
知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：积分xf??(x)dx中出现了f??(x)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：Qxf??(x)dx?xd(f?(x))?xf?(x)?????f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C.
exxex?exex(x?1)ex(x?1),?f?(x)=?,?xf?(x)=; 又Qf(x)=22xxxxex(x?1)exex(x?2)??xf??(x)dx???C??C.
xxx★★★★5、设In?dx1cosxn?2，；证明：(n?2)I????In?2。 nn?1?sinnxn?1sinxn?1cosx和In?2 提示我们如何在被积函数的表达式
sinn?1x知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：要证明的目标表达式中出现了In，
1cosx1中变出 和 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的nn?1n?2sinxsinxsinx介绍，这里1可变为sin22x?cos2x。
2证明：Q1=sinx?cosx
dxsin2x?cos2xcos2xsin2xcos2x1?In??n??dx?dx?dx?dx??sinnx?sinnx?sinnx?sinn?2xdxsinxsinnxcos2xcosx??dx?I?dsinx?In?2n?2nn?sinxsinxcosx?sinx?sinnx?nsinn?1xcos2x?sinx??sinx?dx?In?2n2nsinxsinxcosxcos2xcosx1?sin2x??In?2?n?dx?In?2??In?2?n?dx?In?2sinn-1xsinnxsinn?1xsinnxcosxcosx??I?nI?nI?I??nIn?(n?2)In?2n?2nn?2n?2n?1n?1sinxsinx1cosxn?2?In???n?1?In?2.n?1sinxn?1★★★★6、设
f(x)为单调连续函数，f-1(x)为其反函数，且?f(x)dx?F(x)?C ，
求：
?f?1(x)dx。
知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白x?f(f解：Q?1(x))这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。
?f-1(x)dx=xf-1(x)-?xd(f-1(x))
26
又Qx?f(f?1(x))
??f?1(x)dx?f?1(x)??xd(f?1(x))?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))
又Q?f(x)dx?F(x)?C
??f?1(x)dx?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))?f?1(x)?F(f?1(x))?C.
习题4-4
1、 求下列不定积分
知识点：有理函数积分法的练习。
思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，
通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。
x3★(1)?x?3dx
思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
x3x3?27?2727??x2?3x?9?解：Q x?3x?3x?3x32727??dx??(x2?3x?9?)dx??(x2?3x?9)dx??dxx?3x?3x?3 13?x3?x2?9x?27lnx?3?C.32x5?x4?8★★★(2) ?x3?xdx
思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
x5?x4?8(x5?x3)?(x4?x2)?(x3?x)?x2?x?8x2?x?82??x?x?1?3, 解：Q33x?xx?xx?x而x3?x?x(x?1)(x?1),
x2?x?8ABC???令，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：
x3?xxx?1x?1?A?B?C?1?A?8???C?B?1解此方程组得：?B??4 ??C??3A?8?? 27
x5?x4?88432??x?x?1???xx?1x?1x3?xx5?x4?88432??dx?(x?x?1???)dx 3?xx?1x?1x?x11?x3?x2?x?8lnx?4lnx?1?3lnx?1?C32★★★(3)
3?x3?1dx
2思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：Qx?1?(x?1)(x?x?1)，令
33ABx?C等式右边通分后比较两边分子??32x?1x?1x?x?1x的同次项的系数得：
?A+B=0?A?1???B+C-A=0解此方程组得：?B??1?A+C=3?C?2??
13(2x?1)?31?x?212?3??2??2x?1x?1x?x?1x?113(x?)2?()222
1(2x?1)131??2?x?1(x?1)2?3213(x?)2?()224221(2x?1)31312??3dx??dx??dx??dx123x?1x?1213(x?)?(x?)2?()224221111312)?lnx?1??d((x?)2?)?3?d(12(x?1)2?3243x?242)2?12(3212x?1?lnx?1?ln(x2?x?1)?3arctan()?C.23x?★★★(4)
x?1?(x?1)3dx
思路：将被积函数裂项后分项积分。
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