第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为( ) A.2 C．2
B.3 D．3
解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1. 分别令x＝0，y＝0得A(，0)，B(0，)，
1
1
x0y0
∴|AB|＝
1
2
x0
＋
1
2
y0
＝
1
x0y0
≥
1
2＝2. x20＋y0
2
答案 C
2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )．
A．4 B．42 C．8 D．82 解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a2－10a＋17＝0，解得a＝5±22，设C1(5－22，5－22)，则C2(5＋22，5＋22)，则|C1C2|＝32＋32＝8. 答案 C
3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，
b满足的关系是( ) A．a2＋2a＋2b－3＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0
解析 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心， 两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.
答案 C
4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 A．－32
B．－3
( )．
D．32
C．3
解析 易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径为r1＝2； 圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，
22
?a＋b?2a＋b
?≤∴|C1C2|＝r1＋r2，即a＋b＝9.∵?
2， ?2?
2
2
∴a＋b≤32(当且仅当a＝b＝∴a＋b的最大值为32. 答案 D
3
时取“＝”)， 2
5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ?33?A.?－，?
3??3
?33?
C.?－，?
3??3
( )．
?3??3?
B.?－，0?∪?0，?
3??3????3??3
D.?－∞，－?∪?，＋∞?
3??3??
解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直
3
线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±3，即直线处于两切线之间时满足题意， 33则－3 综上知－3 6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )． 解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧圆弧 的长与小圆 的长之差为0或2π.切点A在三、四象限 的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧弧 的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆 与 的长相 的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧 等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A. 答案 A 二、填空题 7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 解析 由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝ 2 ＝2. 2