【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

oh1h2xMqFNFSh/2h/2x?gby

q1y?h2??b?图2-17

l

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y=0）

0 -1

0

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l

m

fx?s? fy?g?y?h1?0

??g?y?h1?0

?s?

?gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

??x?x?0???g(y?h1),??xy?x?0?0;??x?x?b???g(y?h1),??xy?x?b?0;

②在小边界y?0上，能精确满足下列应力边界条件：

???yy?0???gh,??xy?y?0?0

③在小边界y?h2上，能精确满足下列位移边界条件：

?u?y?h2?0,?v?y?h?02

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚?=1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs?0,FN???gh1b,M?0

1

由于y?h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

?b???dx???gh1b??0yy?h2??b ??0??y?y?h2xdx?0?b????dx?0???0xyy?h2⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

hy??

2hy?

2q

0

(?y)y?-h/2??q，(?yx)y?-h/2?0，(?y)y?h/2?0，(?yx)y?h/2??q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

?h/2(?)dx??FS???h/2xyx?0?h/2???h/2(?x)x?0dx??FN?h/2?(?)ydx??M???h/2xx?0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux?l?0,vx?l?0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

?F?Fyx??q1l?FN??q1l?FN ?0,FN?FN?FNFS?M??0,FS?FS??ql?0?FS???ql?FS

q1lh121ql2?MA?0,M?M'?FSl?2ql?2q1lh?0?M?2?M?FSl?2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

2

?h/2(?)dy?F??ql?FN1N???h/2xx?l?q1lhql2?h/2 ?M?FSl????h/2(?x)x?lydy?M??22??h/2(?)dy?F???ql?Fxyx?lSS????h/2

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于hbhhqoxAoFNMxqb2b/2b/2FN?Aqb2M?12l，OA为小边界，故其上可用圣维

y南原理，写出三个积分的应力边界条件：

x(a)上端面OA面上面力fx?0,fy?q

b由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

?a??h??b,??1?图2-19y?b?bbxqb?b?dx??fdx??qdx???0y?0b??0?y?y?02?bbx?bqb2?b???0??y?y?0xdx???0fyxdx??0q??x?dx?b?212(对OA中点取矩) ???b??0??yx?y?0dx?0?(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qb?b?dx??F??N??0?y?y?02?qb2?b ??0??y?y?0xdx??M?12??b?dx?0??0?xy?y?0?综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

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