中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）

【考纲要求】

1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．

2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、等腰三角形

1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质：

(1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)；

(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．

要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定：

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释：

(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形

1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质：

(1)直角三角形中两锐角互余；

(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；

(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：

（1）直角三角形中，SRt△ABC=

ch=

ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；

（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．

3．判定：

(1)两内角互余的三角形是直角三角形；

(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边． 【典型例题】

类型一、等腰三角形

1．（2014秋?自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．

（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；

（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【答案与解析】 解：（1）∵△OCD是等边三角形， ∴OC=CD，

而△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，

∵∠ACB=∠OCD=60°， ∴∠BCO=∠ACD， 在△BOC与△ADC中， ∵

，

∴△BOC≌△ADC， ∴∠BOC=∠ADC，

而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°， ∴∠ADO=150°﹣60°=90°， ∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°， ∴b﹣d=10°，

∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠CAO=50°，

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α﹣60°=50°， ∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°．

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键． 举一反三：

【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．

【答案】

.

2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF． (1)求证:AE=AF．

(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

【思路点拨】菱形的定义和性质. 【答案与解析】

(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，

又∵BE=DF，∴≌ ． ∴AE=AF．

(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，

∴AB=AC=AD，

∵AB=BC=CD=DA ,

∴△ABC和△ACD都是等边三角形．

∴, ． ∴． 又∵AE=AF ∴是等边三角形．

【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.