2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，理1，5分】若复数z满足2z?z?3?2i，其中i为虚数为单位，则z?（ ）

（A）1?2i （B）1?2i （C）?1?2i （D）?1?2i 【答案】B

【解析】设z?a?bi,?a,b?R?，则2z?z?z?(z?z)?a?bi?2a?3a?bi?3?2i，所以a?1,b??2，故选B． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． （2）【2016年山东，理2，5分】已知集合A??yy?2x,x?R?,B??xx2?1?0?，则A【答案】C

【解析】由题意A??0,???，B???1,1?，所以AB?（ ）

（A）??1,1? （B）?0,1? （C）??1,??? （D）?0,???

B???1,???，故选C．

【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小

时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是?17.5,30?，样本

数据分组为?17.5,20?，?20,22.5?，?22.5,25?，?25,27.5?，?27.5,30?．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D

【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.02?0.1)?2.5?0.30， 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是200??1?0.30??140人，故选D． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

?x?y?2?（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x，y满足?2x?3y?9，则x2?y2的最大值是（ ）

?x?0? （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C

【解析】由x2?y2是点?x,y?到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点?0,2?,?0,?3?,?3,?1?，

所以?3,?1?是最优解，x2?y2的最大值是10，故选C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． （5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该

几何体的体积为（ ）

1212122 （A）?? （B）?? （C）?? （D）1??

3336633【答案】C

1212【解析】由三视图可知，半球的体积为四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为??，?，

6363故选C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状

是解答的关键．

（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线a,b分别在两个不同的平面?，?内，则“直线a和直线b相交”是“平

面?和平面?相交”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由直线a和直线b相交，可知平面?、?有公共点，所以平面?和平面?相交．又如果平面?和平面?相

交，直线a和直线b不一定相交，故选A．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题． （7）【2016年山东，理7，5分】函数f(x)?（A）

?3sinx?cosx??3cosx?sinx的最小正周期是（ ）

?3??（B）? （C）（D）2?

2 2

【答案】B

???【解析】由f(x)?2sinxcosx?3cos2x?2sin?2x??，所以，最小正周期是?，故选B．

3??【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

1（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量m,n满足4m?3n,cos?m,n?? ，若n??tm?n?则实数t的值

3为（ ）

99（A）4 （B）?4 （C） （D）?

44【答案】B

1?t?n??tmnn?2?0，即??1?n2?0，t??4， 【解析】因为nm?m?ncos?m,n??n2，由n??tm?n?，有n?tm?4?4?故选B．

【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． （9）【2016年山东，理9，5分】已知函数f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?x3?1；当?1?x?1时，1?1?1??时，f?x???f?x??，则f?6??（ ）

2?2?2??（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2 【答案】D

1?1?1??【解析】由f?x???f?x??，知当x?时，f?x?的周期为1，所以f?6??f?1?．又当?1?x?1时，

2?2?2??f(?x)??f(x)；当x?f??x???f?x?，所以f?1???f??1?．于是f?6??f?1???f??1??????1??1??2，故选D．

??【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． （10）【2016年山东，理10，5分】若函数y?f?x?的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相

3垂直，则称y?f?x?具有T性质．下列函数具有T性质的是（ ）

（A）y?sinx （B）y?lnx （C）y?ex （D）y?x3 【答案】A

【解析】因为函数y?lnx，y?ex的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数y?x3的图象上任何一点的切

线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T性质，故选A．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i的

值为 ． 【答案】3

【解析】i?1时，执行循环体后a?1,b?8，a?b不成立；i?2时，执行循环体后a?3,b?6，a?b

不成立；i?3时，执行循环体后a?6,b?3，a?b成立；所以i?3，故填 3.

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进

行解答． 1??5（12）【2016年山东，理12，5分】若?ax2?则实数a? ． ?的展开式中x的系数是?80，

x??【答案】?2

51?22355【解析】由C5?ax?????C5ax??80x，得a??2，所以应填?2．

?x?【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．

x2y2（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线E:2?2?1?a?0,b?0?，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB,CDab的中点为E的两个焦点，且2AB?3BC，则E的离心率为 ．

232【答案】2

c29c2?3c?【解析】由题意BC?2c，所以2AB?3BC，于是点?c,?在双曲线E上，代入方程，得2?2?1，

a4b?2?c 在由a2?b2?c2得E的离心率为e??2．

a【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，

考查运算能力，属于中档题．

（14）【2016年山东，理14，5分】在??1,1?上随机的取一个数k，则事件“直线y?kx与圆?x?5??y2?9相交”发生的概率为 ．

3【答案】

4【解析】首先k的取值空间的长度为2，由直线y?kx与圆(x?5)2?y2?9相交，得事件发生时k的取值空间为

2333?33??,，其长度为，所以所求概率为． 2??44?224??【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计

算能力，属于基础题．

??x,x?m（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数f?x???2，其中m?0，若存在实数b，使得

??x?2mx?4m,x?m关于x的方程f?x??b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．

【答案】?3,???

【解析】因为g?x??x2?2mx?4m的对称轴为x?m，所以x?m时f?x??x2?2mx?4m单调递增，只要b大于

g?x??x2?2mx?4m的最小值4m?m2时，关于x的方程f?x??b在x?m时有一根；又h?x??x在

存在实数b，使方程f?x??b在x?m时有两个根，只需0?b?m；故只需4m?m2?mx?m，m?0时，

???． 即可，解之，注意m?0，得m?3，故填?3，【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m?m2?m是难点，属

于中档题．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

tanAtanB（16）【2016年山东，理16，12分】在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2?tanA?tanB??． ?cosBcosA（1）证明：a?b?2c； （2）求cosC的最小值．

tanAtanBsinCsinAsinB解：（1）由2?tanA?tanB??得2?，2sinC?sinB?sinC， ???cosBcosAcosAcosBcosAcosBcosAcosB由正弦定理，得a?b?2c．

213c23c231a2?b2?c2?a?b??2ab?c （2）由cosC?．所以的最小值为．cosC??1??1??1?? 22ab2ab2ab222?a?b?2???2?【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为?，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，

不等式a2?b2?2ab的应用，不等式的性质．

（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底

面圆O?的直径，FB是圆台的一条母线．

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