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pij(s,s?t)?pij(s,s)?P(N(s?t)?j|N(s)?i)?P(N(s)?j|N(t)?i)P(N(s?t)?j,N(s)?i)P(N(s?t)?N(s)?j?i,N(s)?i)??ij???ijP(N(s)?i)P(N(s)?i)?P(N(s?t)?N(s)?j?i)??ij??P(N(t)?j?i)??ij?(?t)j?i??te??ij,j?i???(j?i)!?0,j?i?pij(s,s?t)?pij(s,s)te??t?1?lim???t?0?t??,j?i?1???0,其他i?j时,limt?0?j?i?1时,t?0?limpij(s,s?t)?pij(s,s)t?lim?j?ie??ttj?i?1(j?i)!t?0?

综上,结论成立。

N(t)7、设{X(t)??Y,t?0}是复合Poisson过程,??5,且Y服从(1000,2000)内的均匀分布,

iii?1求X(t)的均值函数,方差函数和特征函数。 解:

EYk?1500,EYk2?,其特征函数是

e2000is?e1000is?Yk(s)?1000is?E(X(t))?5t?1500?7500t7D(X(t))?5t??106?3e2000is?e1000is?X(s)?exp{5t[?1]}1000is

作业3(更新过程)

1、

设Xn,n?1,2,是独立同分布的非负随机变量序列,且

P(Xn?i)?p(1?p)i?1,i?1,2,,以Xn,n?1,2,为更新时间间隔的更新过程

{N(t),t?0},求P{N(t)?n}以及更新函数。

解:设时间间隔Xn服从几何分布, {Xn?i}相当于在Bernoulli试验中第i次试验取得成功,更新时刻{?n?k}相当于在Bernoulli试验中第k次试验取得第n次成功,即

?1nk?n?Ckn?,k?n1p(1?p) P(?n?k)???0,k?n所以

P{N(t)?n}?Fn(t)?Fn?1(t)?P(?n?t)?P(?n?1?t)??Ck?n[t]n?1k?1p(1?p)nk?n?k?n?1?C[t]nk?1pn?1(1?p)k?n?1

?m(t)??Fn(t)??rP(N(t)?r)n?1r?0?k 2、

某控制器用一节电池供电,电池失效时立即更换同型号新电池,设电池寿命服从(30,60)(单位:h)内的均匀分布,求长时间工作时,控制器更换电池的速率; 解:设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量,则在长时间工作的情况下,电池更新的速率为

601N(t)1lim?而???t?dt?45(小时)

30t??30t?所以limt??N(t)11?= t?45

3、 设{N(t),t?0}是更新过程,更新间距Xi,i?1,2,的概率密度函数是

??e??(x??),x??f(x)??

0,,x???求P(N(t)?k)。 提示:

利用递推的方法,可求得

?1?kek??(t?k?)k?1e??t,t?k?? f?k(t)??(k?1)!?0,,t?k??

4 、设{N(t),t?0}是更新过程,更新间距Xi,i?1,2,求

,MN(t)??t是它的更新函数,

E[exp(?t?Xk)],t?0。

k?1n提示:由于更新函数和更新过程唯一确定,于是由MN(t)??t是它的更新函数,可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距Xi,i?1,2,那么

相互独立同参数为?的指数分布

E[exp(?t?Xk)]=?E[exp(?tXk)]k?1k?1nnE[exp(?tXk)]=?e?tx?e?xdx?0?=??+t

然后代入上式即可答案(

?n)?+t作业4(Markov过程)

一、计算题

1、设{Xn,n?0}是齐次Markov链,其状态空间E?{a,b,c},一步转移概率为矩阵为

?1/21/41/4??2/301/3? ????3/52/50??设初始分布为P(X0?a)?P(X0?b)=P(X0?c)?1/3 求(1)P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c); (2)P(Xn?2?c|Xn?b)。 提示:(1)

P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)=P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=b)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=b) ?P(X=c)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=c)? 对于

P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=a)?P(X1?b|X=a)?P(X2?c|X1?b)?P(X3?a|X2?c)?P(X4?c|X3?a)?代入数据计算=

(2)

P(Xn?2?c|Xn?b)=P(X2?c|X0?b)=P(X2?c,X1?a|X0?b)?P(X2?c,X1?b|X0?b)?P(X2?c,X1?c|X0?b)对于P(X2?c,X1?a|X0?b)?P(X1?a|X0?b)?P(X2?c|X1?a)?代入数据类似求其他

当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方,然后找到对应元素求得。

2、考虑一个质点在直线上作随机游动,如果在某一个时刻质点位于状态i,则下一步将以概率p(0?p?1)向前移动到达i?1,或以q?1?p向后移动到达i?1,以Xn表示n时刻质点的位置,且在0时刻从原点出发,则{Xn,n?0}显然是一个Markov链。求 (1)写出状态空间E;

(2)求一步转移概率矩阵; (3)求n步转移概率矩阵。

提示:

(1) E=所有整数

???(2) P??????q000q0p0q0p000p???? ????(3)每次游动只有两种可能,向前概率为p,向后概率为q,n次移动的结果是由i到j,若在n次游动中向前m1次,向后m2次,则

n?j?i?m???m1?m2?n?12?? ??m1?m2?j?i?m?n?j?i2??2n?j?in?j?i?n?2j?i22?Cn(n)?p?q,,,n?j?i为偶数?pij???,,,n?j?i为奇数?0,

nnn?222?(n)pii??Cn?p?q,,,n为偶数?,,,n为奇数?0,

3、设齐次Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,,7},状态转移矩阵为

001/2?0?1/31/31/30??0010?P??1/3000?0100?00?1/20?0003/4?(1)对状态空间进行分解;

(2)求平稳分布。

提示:仿照教材中的例题来做。

01/20000000?00??00??02/3? 00??01/2?1/40??E?N?R?1?R?2?{2,5}?{1,4,6,7}?{3}平稳分布