随机数学作业(答案)全部 下载本文

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91547?1,0,?2,?1,0,?1,?1),其中?1??2?1,?1?0,?2?0 464623234、设齐次Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,2,3},状态转移矩阵为

?qP???q??0p0q0?p?? p??其中p(0?p?1),q?1?p,问该Markov链{Xn,n?0}是否为遍历链,为什么?若是,求极限分布。

?q?解:由P?q???0p0q?q2?pqpq0??(2)22p?2pq,与P?P??q??q2p?pq??p2??p2?, pq?p2??p2P(2)?q2?pqpq??P2??q22pq?q2pq?p0q??p2?种元素都大于0,说明3个状态互通,即具有相同pq?p2??0?p??知道状态1为非周期态,于是3个状态都是正常返非周期p???q?的状态类型,由P?q???0态。由于每个元素都大于 0,从而该Markov链{Xn,n?0}是遍历链,于是极限分布就是平稳分布,设平稳分布为??(?1,?2,?3),求解方程组

????P ???????123?1可得

?1?1pp1??()2qq;?2?pqpp1??()2qq;p()2q?3?pp 1??()2qq5、设Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,2,},转移概率矩阵为

?1?p1?1?p2??1?p3P????1?pk??其中pk?e?1/k,k?1,2,解

(n)f11?p1?p10000p20000p30000pk????? ????,证明状态1为常返状态。

?pn?1?p1??pn?1?pn,n?1,2,??fk?1n(k)11?1?p1??pn?1?pn

?f11??fk?1?(k)11?lim?fn??k?1n(k)111?1?limexp{??}?1n??k?1kn所以状态1为常返状态。

6、某厂的商品销售状态可分为三个:分别用1,2,3表示滞销、正常和畅销,经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化与初始时刻无关,状态转移概率矩阵为

0??1/21/2?

P??1/31/95/9????1/62/31/6??试对经过长时间后的销售状况进行分析。

解:由一步转移概率矩阵可知状态互通,且pii?0,所以所有状态都是遍历状态,于是极限分布为平稳分布,设平稳分布为??(?1,?2,?3),求解方程组

????P ???????123?1可得

?1?即极限分布为??(

二、证明题 1、设Yk,k?1,2,896,?2?,?3? 232323896,,) 232323为相互独立的随机变量,证明

(1){Yk,k?1,2,n}是Markov链;

}是Markov链。

(2){?Y,n?1,2,kk?1(课堂讲过,答案略。)

2、设某人有r把伞,分别放在家里和办公室里。如果他出门遇到下雨(概率为p(0?p?1)),手边也有伞,他就带一把用,如果天晴他就不带伞,证明 长时间后,此人遇到下雨手边却无伞可用的概率?解:

令状态为此人身边所有的伞数,,则转移概率为

1。 4rp0r?1因为此时此人手头无伞可带!当手头有i把伞,而天不下雨,pi,r?i?1?p所以也就无需带伞,因此另外一处有r-i把伞;

当手头有i把伞,而天下雨,pi,r?i?1?p所以也就需带伞至另一处,因此另外一处有r-i+1把伞;i?1,2,,r,?r},求解

可知状态0,1,……,r互通,且每个状态周期都为1,因此存在平稳分布,此时平稳分布就是极限分布。设平稳分布为??{?0,??r??0??1P????q??jr?jr?j?1p,j?1,2,????0??rq?r????1k??k?0得到

,r?1

??{q1,,r?qr?q,1} r?q

所以长时间后此人遇到下雨但无伞可带的概率为

p?0?pq1?r?q4r因为p,q必定有一个?0.5,一个?0.5

从而乘积?0.25,

3、设Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{0,1,2,},转移概率为

p0i?pi?0,pi,i?1?1,i?1,2,证明

(1)Markov链{Xn,n?0}是常返的不可约的; (2)Markov链{Xn,n?0}是零常返的充分必要条件是

,p00?p0

?npn?1??n?1??;

(3)Markov链{Xn,n?0}是正常返的充分必要条件是

??pn???为??i??n?1,i?0,1,?npn?1??n?1??npn?1n?1??,且此时的平稳分布

????。 ???

(k)证明:(1)由于所有状态互通,所以所有状态具备相同的状态类型,又由于f00?pk?1,从

f00??fk?1?(k)00??pk?1?1,即状态0是常返的,所以整个马链也是常返的。

k?1?(2)注意到?00??nfn?1?(n)00??npn?1及其整个马链所有状态互通即得。

n?1?(3)类似于(2),马链正常返的充要条件是 由于?0??npn?1?n?1??

1?00?1?npn?1?,所以利用?0?p0?0??1得

n?1

?1?(1?p0)?0??npn?1n?1??p?n

n?1由?1?p1?0??2得

?2?(1?p0?p1)?0??npn?1n?2??p?n

n?1

………………………… 由?i?1?pi?1?0??i得

?i?(1?p0?p1??pi?1)?0??npn?1n?i??p?n

n?1