答：正确，根据集合并的定义 (2) 若a?A，则a?A?B

答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须a同时属于A和B (3) 若a?A?B，则a?B 答：正确

(4) 若A?B，则A?B?B 答：错误

(5) 若A?B，则A?B?A 答：正确

(6) 若a?A，则a?A?B 答：错误

(7) 若a?A，则a?A?B 答：正确

13、 设A,B,C是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由

(1) 若A?B?A?C，则B?C

答：不正确，反例，设A??，则不论B,C是什么集合，都有A?B?A?C??，但显然B,C不一定相等。

(2) 当且仅当A?B?B，有A?B；

答：正确，证明如下：若A?B?B，则对?a?A，有a?A?B?B，则有a?B，因此有A?B。反之，若A?B，则A?B?B显然成立。

(3) 当且仅当A?B?A，有A?B

答：正确，证明如下：若A?B?A，则对?a?A，因此a?A?B，则a?B，则有A?B。若A?B，则?a?A，有a?B，因此由a?A，可以得出a?A?B，因此A?A?B，又A?B?A，有A?B?A。

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(4) 当且仅当A?C，有A?(B?C)??

答：不正确，因为A?(B?C)?A?B?C?，因此不一定需要满足A?C，而若例如：A?{a,b,c}，B?{d,e}，C?{a,b}，A?(B?C)??A?B??也可以满足。成立，而A?C不成立。

(5) 当且仅当B?C，有(A?B)?C?A

答：不正确，因为若B?C，有(A?B)?C?A成立，但是反之不成立，反例如下:A?{1,2,3,4,5}，B?{1,6}，C?{1,2}，而A?B?{2,3,4,5}，

(A?B)?C?{1,2,3,4,5}，但是B?C不成立。

14、 设A,B,C,D是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D)

答：正确，证明：对?a?A?C，则a?A或a?C，因为A?B,C?D，因此a?B或a?D，因此a?B?D，即A?C?(B?D)成立。 (2) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D) 答：正确

(3)若A?B，C?D，则A?C?(B?D) 答：正确

(4) 若A?B,C?D，则A?C?(B?D)

答：不正确。例如若A?B,C?D，但是A?C??，B?D??，则

??A?C?(B?D)??。 15、 设A,B是两个集合，问：

(1)如果A?B?B，那么A和B有什么关系？

答：因为A?B?B，而A?B?A?B??B，即对?a?B有a?A,a?B?，因此

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A?B??。

(2) 如果A?B?B?A，那么A和B有什么关系？

答：充要条件是A?B。证明：因为A?B?B?A的(A?B)?A?(B?A)?A，从而有A?A?B，即A?B，同理可证明B?A，因此A?B。

16、 设A,B是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。 (1) 2A?B?2A?2B

答：不正确。例如A?{a,b}，B?{b,c}，则A?B?{a,b,c}

2A?B?{?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 2A?{?,{a},{b},{a,b}}，2B?{?,{b},{c},{b,c}}

显然2A?B?2A?2B不成立。 (2) 2A?B?2A?2B

答：成立。证明：对?C?2A?2B，则C?2A且C?2B，则C?A,C?B，则因此C?2A?B。反之，若?C?2A?B，则C?A?则C?A且C?B，C?A?B，B，因此C?2A，且C?2B，因此C?2A?2B，即2A?B?2A?2B。 (3) 2A??(2A)?

答：显然不成立，因为左边集合肯定含有?，而右边不含有。

17、 在一个班级的50个学生中，有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成

绩；21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?

答：分别用A,B表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，U表示全体学生集合：则#(A)?26，#(B)?21，#(A?B)?50?17?33，则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。

18、 设A,B,C是任意集合，运用成员表证明： (1) (A?B)?(A??C)?(A?C)?(A??B) 证明：

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A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A? A??C A?B A?C A??B 左边 右边 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 (3) A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 证明： A B C A?B A?C (A?B)?(A?C) B?C A?(B?C) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 由上得证左右两边相等。

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 19、由S和T的成员表如何判断S?T？应用成员表证明或否定

?) (A?B)?(B?C??A? B答：先分别给出集合(A?B)?(B?C)?和A?B?的成员表如下： A B C A?B B?C (B?C)? (A?B)?(B?C)? B? A?B? 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 观察上述表格，我们发现(A?B)?(B?C)?所标记的列中，仅在第五列为1，这

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