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于是得
&?0?t?vtmXN1?XN1 &?0?XXN2?N2sinp2t?0p2 &?0?XvmXN3?N3sinp3t?sinp3tpp33 &?0?XXN4?N4sinp4t?0p4
所以响应为
1X?AN??XN1?AN??XN2?AN??XN3?AN??XN4， 234?X1??1??1???????X1v2?????t???1?vsinpt3?X3??1?2??1?2p3??????p3?X11????即?4?， 其中，
2km. 000??4.000?0??0.41400T?MP?AMA?m??004.0000???0013.657??0
4-3 试确定题4-2的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力p1?p4?p的响应。
4-4 如图4-4所示，已知机器质量为m1=90kg，吸振器质量为m2=2.25kg，若机器上有一偏心质量m??0.5kg，偏心距e=1cm，机器转速n=1800r/m。试问：
（1）吸振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？
（2）此时吸振器的振幅B2为多大？
（3）若使吸振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变吸振器的参数？
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图4-4
第六章 弹性体系统的振动
6.1 一等直杆沿纵向以速度v向右运动，求下列情况中杆的自由振动： （1）杆的左端突然固定； （2）杆的右端突然固定； （3）杆的中点突然固定。
图6-1
解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：
&u?x,0??u0?x??0 u?x,0??V
2i?i?aupi?,i?1,3,5i?x??Disinx,i?1,3,52l2l有题可知
22l22i?i?x??D?ux?sinx???ADsindx?1iii??0??Al?Al2l2l???得
li?&?0??AVDsinxdx??ii?0?0?0 2l ，i????AVDi2li?
所以有：
?i??&?i?0?pisinpit?进而有：
?i?x2l2l8Vl1i?xi?a°??t??u?x,t???uDsin?AVDsinpt?sinsint??iiiii222li?i?a?ai2l2li?1,3,5i?1,3,5i?1,3,5~2u%i全部改成：Ui
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图6-2
6-2 图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，（1）若受到均匀分布力p(x)?P0的l作用，
试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰
P0sin?t，试求杆的稳态强迫振动。 lpx??0EA 解：t-=0时的应变为
力为
杆的初始条件为
xu0(x)??.0p0yp0x2ydy?EA2EA
一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为
u0(x)?0将主振型代入上式归一化为
i?a(i?1,3,5......)2li?Ui(x)?Disinx(i?1,3,5......)2l pi??l0?A(Disin2?Ali?2x)dx?12lDi?
以正则坐标表示初始条件为
?p0i?8l3sini?2?i(0)???Au0(x)Disinxdx?Di22(?)02l2Ei?2i?l?i(0)?0(i?1,3,5......).
?p02EDi以正则坐标表示对初始条件的响应为
8li?2(sin?)22i?2i?
3?i??i(0)cospit
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于是杆的自由振动为
i?x?p08l3sini?2u(x,t)??Ui?i(t)??Disin?Di22(?)2l2Ei?2i??~?i?1,3,5...i?1,3,5...16p0l2?iπxiπaπ3EAi????11,3,Li3sin2lcos2lt
u(x,t)?16F0l?1iπxiπaπ3EAi???sin1,3,?i32lcos2lt杆左端固定端，右端为自由端
u?x,t??U(x)(Acospt?Bsinpt)
U(x)?Ccospxpxa?Dsina边界条件
dUU(0)?0?0 dxx?l得固有频率，主振型
p(2i?1)?i?2la U)?D(2i?1)?i(xisin2lx ?u(x,t)?i?xi?1?sin,3,??2l(Ai?ai?aicos2lt?Bisin2lt)杆在x处的应变
F0??x0?lx0EAdx F0x2 ?2EAl初始条件
??(x,0)?u?F3?u0x0(x)?0x?2EAl ??u?(x,0)?u?0(x)?0
??由u(x,0)?u0(x)?0得
Bi?0
u(x,t)?
i?1??sini?x,3,??2lAi?aicos2lt 再利用三角函数正交性
l2i?xli?x Ai??0sin(2l)dx??0?0xsin2ldx
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i=1,2,……
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F0x3i?x??sindx02EAl2l
16FlAi?330i?EA 得
lu(x,t)?i?xi?aAcost?i2l2li?1,3,?? ?16Fl1i?xi?a?330sincost?32l2l i?EAi?1,3,??i?sin
(2) 解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为
Pi?
ia?2li?x2l?i?1,3,5?????i?1,3,5????
Ui?x??Disin 将主振型代入归一化条件，得
i???ADsini?0?2l?l?x?dx?1?
2 得到正则振型
Di?2?Al2i?sinx?Al2ll
又第i个正则方程为
Ui?x??~?i?1,3,5????
2%&&??pUii?i??q?x,t?idx0F0i?sin?tsinxdx0l2l 2DiF0?sin?t?1,3,5????i?
??l
所以可得正则坐标的稳态响应为
?i?t??
杆的稳态响应振动为
2DiF0sin?t22?pi???i??~
u?x,t??i?1,2,????U??t???ii?Ui?i?t?~i?1,3,5,???
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