第2章刚体定轴转动

一、选择题

1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题

(1).v≈15.2 m/s，n2＝500rev/min (2).62.51.67ｓ (3).g/lg/(2l) (4).5.0N·m (5).4.0rad/s (6).0.25 kg·m2 (7).

1Ma 2l11(8).?mgl参考解：M＝?dM＝???gm/l?rdr??mgl

022?J?mr??(9).

21J?mR2

(10).??3gsin?/l

三、计算题

1.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量

J?1mR2，其中m为圆形平板的质量） 2解：在r处的宽度为dr的环带面积上摩擦力矩为 总摩擦力矩M??dM?0R2?mgR 3故平板角加速度?=M/J

设停止前转数为n，则转角?=2?n 由?0?2???4?Mn/J

2J?02?3R?0/16π?g 可得n?4?M22.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为下落的过程中，下落速度与时间的关系． 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体：mg－T＝ma① 对滑轮：TR=J?② 运动学关系：a＝R?③ 将①、②、③式联立得

1MR2，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始2a＝mg/(m＋∵v0＝0，

1M) 21M) 2∴v＝at＝mgt/(m＋

3.为求一半径R＝50cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m1＝8kg的重锤．让重锤从高2m处由静止落下，测得下落时间t1＝16s．再用另一质量m2=4kg的重锤做同样测量，测得下落时间t2＝25s．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．

解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR－Mf＝Ja/R① mg－T＝ma② h＝

12at③ 22则将m1、t1代入上述方程组，得 a1＝2h/t1＝0.0156m/s2

T1＝m1(g－a1)＝78.3N J＝(T1R－Mf)R/a1④

将m2、t2代入①、②、③方程组，得 a2＝2h/t2＝6.4×103m/s?

-

2T2＝m2(g－a2)＝39.2N J=(T2R－Mf)R/a2⑤ 由④、⑤两式，得

J＝R2(T1－T2)/(a1－a2)＝1.06×103kg·m2

4.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M＝－k?(k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为

1?0时所需的时间． 2解：根据转动定律：??????????????????Jd?/dt=-k?????????????????????????????????????????????????? ∴

d????kdt J

两边积分：

???0/201?

d????

t0kdt J

得 ln2=kt/J ∴t＝(Jln2)/k

5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为m的砝码，砝码彼此相距l1(每一砝码离转轴

11l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝码离转轴为l2)，整个系统22转速变为n2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)

解：(1)将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：W＝?Ek＝

112112(J0?ml2)4??n2?(J0?ml12)4?2n12 2222这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量．

(2)过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：

1212ml1)n1=2?(J0＋ml2)n2 22

2ml12n1?l2n2∴J0?

2?n2?n1?2?(J0＋

??(3)将J0代入W式，得W??mn1n2l1?l2

6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为

2?22??)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度

v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2)经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为

1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) 2解：(1)以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒． mv0R＝(

1MR2＋mR2)? 2R(2)设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为Mf??r?g??2?rdr＝(2/3)???gR3＝(2/3)?MgR

0设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －Mf??t＝0－J?＝－(

1MR2＋mR2)?＝-mv0R 2mv0Rmv0R3mv0 ?t????2/3??MgR2?MgMf7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固

1L处，如图所示．求棒在碰撞后的212瞬时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml，式中的m

3定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧和l分别为棒的质量和长度．)

解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为 因碰撞前后角动量守恒，所以 ∴?=6v0/(7L)

8.长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1)细杆的质量．

(2)细杆摆起的最大角度?．

解：(1)设摆球与细杆碰撞时速度为v0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得：J?=mv0l

由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能

112mv0?J?2 2212

代入J＝Ml，由上述两式可得M＝3m

3

(2)由机械能守恒式

1112mv0?mgl及J?2?Mgl?1?cos?? 222