专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题

(见B本9页)

, 类型 1 线段的最值问题)

例1图

【例1】 如图所示，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是__5__．

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变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x的形状．今

100在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )

A．12.75米

变式图

B．13.75米 C．14.75米

D．17.75米

, 类型 2 线段和差的最值问题

【例2】 如图所示，已知抛物线y＝－x＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为( A )

A．(0，2)

2

?5? B.?0，? ?3?

?4?C.?0，? ?3?

?3?D.?0，? ?2?

例2图

1

2

变式图

变式 如图所示，二次函数y＝－x－3x＋4的图象交x轴于A，B，交y轴于点C.点P

?3?是抛物线的对称轴上一动点，若|PA－PC|的值最大，则点P的坐标为 ?－，10? ． ?2?

, 类型 3 面积的最值问题

【例3】 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，

点E是正方形内抛物线l上的动点．则△OAE与△OCE面积之和的最大值是__9__．

例3图

2

变式图

变式 如图所示，二次函数y＝ax＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． 1

(1)a＝__－__，b＝__3__；

2

(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

2

解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax＋bx，

1???a＝－，?4a＋2b＝4，2 得?解得?

??36a＋6b＝0，??b＝3，

变式答图

(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，

2

S11

△OAD＝2OD·AD＝2

×2×4＝4；

S12CE＝1

△ACD＝AD·2×4×(x－2)＝2x－4；

S11?12△BCD＝2BD·CF＝2?2

2×4×??－x＋3x??

＝－x＋6x，

则S＝S2

2

△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x＋6x＝－x＋8x，

∴S关于x的函数表达式为S＝－x2

＋8x(2＜x＜6)．

∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2

＋16，

∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.

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