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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

?2 ?→①→OP ? (2, 3)，将OP的坐标排成一列，并简记为?? y ?3 ?— P 2, 3) (3 2 ?2 ?

?? — ?3 ?

3

— 2 x O ②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：

初赛 复赛 80 90

甲 乙 80 86 90 88 ??

???86 88 ?

③ 2 3 m ?2x?3y?mz?1,?23m? 简记为?3 －2 4 ?3?24? 3x?2y?4z?2??? 概念一：

?2 ?象?? ?3 ?

?8090??8688? ???23m??3?24?的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示， ??横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.

名称介绍：

①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。 ③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）

?a11 ?

④列矩阵：??（仅有一列）

?a21 ?精品文档

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⑤向量a＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵[x,y]或列矩阵??，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量??的形式。 练习1： 1.已知A??

2.设A??

概念二：

??x??y??x??y??x3??1y?,，若A=B，试求x,y,z B?????4?2??z?2??2x??m?nx?y?，B???2x?ym?n?，若A=B，求x,y,m,n的值。 y3?????ab??称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。 cd???00?①零矩阵：所有元素均为0，即?，记为0。 ??00??10?②二阶单位矩阵：??，记为E2.

01??由4个数a,b,c,d排成的正方形数表?二、二阶矩阵与平面向量的乘法

????ab??ax?by??ab??x??ax?by??x?定义：规定二阶矩阵A=?，与向量的乘积为，即＝＝? A?A???????????????cd??cx?dy??cd??y??cx?dy??y?练习2： 1.（1）??12??3?＝ ????0?1??1?精品文档

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?1?0?10?2.??12??（2） ?2??1?＝ ????1??3??x???1??x?=，求?y??1??y? ??????三、二阶矩阵与线性变换

1.旋转变换

?x'??x?x'??x?0?y问题1:P（x,y）绕原点逆时针旋转180得到P(x,y),称P为P在此旋转变换作用下的象。其结果为?'，也可以表示为?'，

?y??y?y?0?x?y?x'???10??x???x?即?'?＝?＝怎么算出来的？ ???????y??y??0?1??y?o

’

’

’

’

o’’’’

问题2. P（x,y）绕原点逆时针旋转30得到P(x,y),试完成以下任务①写出象P； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

o

问题3.把问题2中的旋转30改为旋转?角，其结果又如何？30o ?

2.反射变换

’

定义：把平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线性变换叫做关于直线l的反射。

’’’

研究：P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换

定义：将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，（k1、k2均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。 试分别研究以下问题：

①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵. 精品文档