全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

排列与组合

1.排列、组合的定义

排列的 从n个不同元按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出定义 素中取出m个元素的一个排列 组合的 m(m≤n)个元合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个定义 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 定 义 排列数 组合数 素 组合 从n个不同元素中取出从n个不同元素中取出m(m≤n，m，m(m≤n，m，n∈N*)个元n∈N*)个元素的所有不同组合的个素的所有不同排列的个数 数 公 式 Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！ ?n－m?！mmAnCn＝Am m＝n?n－1??n－2?…?n－m＋1? m！性 质 nAn＝n！，0！＝1 mn－mmm－1mC0n＝1，Cn＝Cn，Cn＋Cn＝Cn＋1 正确理解组合数的性质

n－m

(1)Cm：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－n＝Cn

m个元素的方法数.

m－1(2)Cm＝Cmn＋Cnn＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情m－1况：①不含特殊元素A有Cm种方法. n种方法；②含特殊元素A有Cn

考点一 排列问题

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[典例精析]

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻.

5

[解] (1)从7人中选5人排列，有A7＝7×6×5×4×3＝2 520(种). 4(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A4种34方法，共有A7A4＝5 040(种).

6

(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方6法，共有5×A6＝3 600(种).

法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其

55他有A5种排法，共有A26A5＝3 600(种).

4

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再4将女生全排列，有A4种方法，共有A4A44·4＝576(种).

4

(5)(插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选33个空位安排男生，有A5种方法，共有A4A34·5＝1 440(种).

[解题技法]

求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 优先法 捆绑法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 插空法 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全除法处理 排列 间接法 [题组训练]

1.(优质试题·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )

A.1 800 C.4 320

B.3 600 D.5 040

正难则反、等价转化的方法 解析：选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节

22目插在6个空位中，有A6种，所以共有A55A6＝3 600(种).

2.(优质试题·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )

A.250个 C.48个

B.249个 D.24个

解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；

3②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A4＝24(个).由分类加法计数原

理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.

3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )

A.1 108种 C.960种

B.1 008种 D.504种

6

解析：选B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有A22A6种排2525法；将甲排在排头，有A2A5种排法；乙排在排尾，有A2A5种排法；甲排在排头，24乙排在排尾，有A2A4种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须2625254相邻的不同排法共有A2A6－A2A5－A2A5＋A22A4＝1 008(种).