一元一次方程应用题归类汇集

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）． （2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系

列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案．（注意带上单位）

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集：

行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题）， 等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题， 数字问题，方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等。 第一类、行程问题 基本的数量关系：

（1）路程＝速度×时间 ⑵ 速度＝路程÷时间 ⑶ 时间＝路程÷速度

要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少） 常用的等量关系：

1、甲、乙二人相向相遇问题

⑴甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 2、甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题

⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 3、单人往返

⑴ 各段路程和＝总路程 ⑵ 各段时间和＝总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变 4、行船问题与飞机飞行问题

⑴ 顺水速度＝静水速度＋水流速度 ⑵ 逆水速度＝静水速度－水流速度 5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题

将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。 6、时钟问题：

⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究

⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。

常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒 一、一般行程问题（相遇与追击问题）

1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小

时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。 解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时

列出方程是：

xx??3.6 8402、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，

那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。 解：等量关系 甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程 (18千米)

设乙的速度是x千米/时，则列出方程是： ?11?1?2?1?(x?1)?1x?18 2?2?3

3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，

可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

1

解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程

⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟 老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。 方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25） 方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：

x15x15??? 15609604、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，

t分钟后第一次相遇，t等于 分钟。

老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）

等量关系：快者跑的路程－慢者跑的路程＝800 （俗称多跑一圈） 320t－280t＝800 t＝20

5、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经

过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？ 老师提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和

设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋280

6、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人

的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米？ ⑵ 这列火车的车长是多少米？ 老师提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。 等量关系： ① 两种情形下火车的速度相等 ② 两种情形下火车的车长相等

在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。

解：⑴ 行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒

骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒

⑵ 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26×(x－3)＝22×(x－1) 解得x＝4

方法二：设火车的车长是x米，则

x?22?1x?26?3? 22267、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带

上礼品以每小时6千米的速度去追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？ （提示：此题为典型的追击问题） 解：设爸爸用x小时追上我们，则 6x＝2x＋2×1

解得 x＝0.5 0.5小时＜1小时45分钟 答：能追上。

8、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的

速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）

老师提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈

即 步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2

解：设步行者在出发后经过x小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x＋60(x－1)＝60×2

9、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道

所需时间是【 】

（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒

老师提醒：将车尾看作一个行者，当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时

所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！你明白吗？

解：时间＝(600＋150)÷15＝50（秒） 选B。

10、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的

时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间

2

的距离。

解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则

12x＝15??x???204??? x＝2 12 x＝12×2＝24(千米) 6060?方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）

xx204??? x＝24 答：A、B两地的距离是24千米。 12156060温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。

11、甲、乙两人相距5千米，分别以2千米/时的速度相向而行，同时一只小狗以12千米/时的速度从甲处奔向乙，

遇到乙后立即掉头奔向甲，遇到甲后又奔向乙??直到甲、乙相遇，求小狗所走的路程。

注：此为二题合一的题目，即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的，

以此为联系，使本题顿生情趣，为诸多中小学资料所采纳。 解：设甲、乙两人相遇用 x 时，则2x＋2x＝5 x?55 12x?12??15(千米) 44答：小狗所走的路程是15千米。

12、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照

在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。 老师解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，

前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。 此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。

解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得

300?xx? x＝300 答：这列火车长300米。 2010方法二：设这列火车的速度是x米/秒，

根据题意，得20x－300＝10x x＝30 10x＝300 答：这列火车长300米。

13、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来

加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得 。 答案：

xx??60 101514、列车在中途受阻，耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提高到每小时50千米，问这样走多少千

米，就可以将耽误的时间补上？

解：设走x千米就补上耽误的时间，则

xx6?? x＝20 405060答：走20千米就补上耽误的时间。

15、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，

快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。

⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？

⑵ 如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到 快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？

老师解析：① 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的

相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！

② 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的 相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！

③ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的 追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！

解：⑴ 两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）

慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒） ⑵ 设至少是x秒，（快车车速为20－8）则 （20－8）x－8x＝100＋150 x＝62.5

3

答：至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。

16、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还

快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。 求两人的速度。

解：设乙的速度是 x 千米/时，则

3x＋3 (2x＋2)＝25.5×2 ∴ x＝5 2x＋2＝12 答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。

17、一辆汽车上午10：00从安阳出发匀速行驶，途经曲沟、水冶、铜冶三地，时间如下表，

地名 时间 安阳 10：00 曲沟 10：15 铜冶 11：00 水冶在曲沟和铜冶两地之间，距曲沟10千米，距铜冶20千米，安阳到水冶的 路程有多少千米？

解：设安阳到水冶有x千米，则

x?10x?20x?1010?20?? 或 0.2510.250.75解，得 x＝20 答：安阳到水冶的路程有20千米。

18、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B到A地，两人都匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，

到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B两地间的路程。 解：设A、B两地间的路程是 x 千米，则

方法一：

x?36x?36? 24 方法二：x＋36＝36×2×2 解，得 x＝108 答：A、B两地间的路程是108千米。

二、环行跑道与时钟问题：

1、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，

在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x° 以下按追击问题可列出方程，不难求解。

解：设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x 解得x?3608?32 11112、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几

分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？

老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。

解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则 240x－200x＝400 x＝10

② 设背向跑，x分钟后相遇，则 240x＋200x＝400 x＝

1 113、在3时和4时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：⑴重合；⑵ 成平角；⑶成直角；

解：⑴ 设分针指向3时x分时两针重合。x?5?3?答：在3时1611804x x??16 1211114分时两针重合。 11⑵ 设分针指向3时x分时两针成平角。x?5?3?答：在3时4911x?60?2 x?49 12111分时两针成平角。 11⑶设分针指向3时x分时两针成直角。x?5?3?18x?60?4 x?32 1211 4

答：在3时328分时两针成直角。 114、某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间

为12时50分时，准确时间是多少？

解：方法一：设准确时间经过x分钟，则 x∶380＝60∶(60－3)

解得x＝400分＝6时40分 6：30＋6：40＝13：10

方法二：设准确时间经过x时，则

3?1?5 x?6?x?12??60?2?6三、行船与飞机飞行问题：

1、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时， 求两码头之间的距离。

解：设船在静水中的速度是x千米/时，则3×(x－3)＝2×(x＋3)

解得x＝15 2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。

2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，

求两城市间的距离。 解：设无风时的速度是x千米/时，则3×(x－24)＝25×(x＋24) 63、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，

求该河的水流速度。

解：设水流速度为x千米/时，则9(10－x)＝6(10＋x) 解得x＝2 答：水流速度为2千米/时. 4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度

为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。 解：设A与B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)

x40??20 解得x＝120

7.5?2.57.5?2.5xx?x?40??20 解得x＝56 ② 当C在BA的延长线上时，

7.5?2.57.5?2.5① 当C在A、B之间时，

答：A与B的距离是120千米或56千米。

第二类：工程问题 工程问题的基本关系：

工作量=工作效率×工作时间 ；工作效率=工作量÷工作时间 ；工作时间=工作量÷工作效率 注意：一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 1、做某件工作，甲单独做要8小时才能完成，乙单独做要12小时才能完成，

问：① 甲做1小时完成全部工作量的几分之几？

1 81 12812② 乙做1小时完成全部工作量的几分之几？

③ 甲、乙合做1小时完成全部工作量的几分之几？ 1?1 ④ 甲做x小时完成全部工作量的几分之几？

1x 8⑤ 甲、乙合做x小时完成全部工作量的几分之几？ (1?1)x

812⑥ 甲先做2小时完成全部工作量的几分之几？ ?2

5

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