统计学学习指导与习题

第二节 加权总指数的编制方法

总指数编制的基本问题；加权总指数的编制原理；加权综合指数的各种形式；加权平均指数的主要形式，其他权数形式的综合指数的编制。

第三节 指数体系和因素分析

指数体系及其作用；总量变动的因素分析。

第四节 几种常用的经济指数

消费者价格指数和零售物价指数；生产指数与生产者指数；股票价格指数；农副产品收购价格指数；产品成本指数；空间价格指数。

第五节 综合评价指数

综合评价的基本思想；综合评价指数的构建；综合评价指数的编制方法。

第五章 抽样与抽样分布

要求：了解抽样的概率抽样方法；理解抽样分布的意义；了解抽样分布的形成过程；理解中心极限定。

本章重点：抽样的概率抽样方法；抽样分布的形式。 本章难点：概率抽样方法的运用，抽样分布的形成过程。 内容：

第一节 常用的抽样方法

简单随机抽样；分层抽样；等距抽样；整群抽样。

第二节 抽样分布

抽样分布的概念；样本均值抽样分布的形式与特征；抽样比率、抽样方差的抽样分布；中心极限定理。

第三节 中心极限定理的应用

第六章 参数估计

要求：了解估计量与估计值的概念，点估计与区间估计的区别；掌握评价估计量优良性的标准；掌握一个总体参数的区间估计方法；掌握样本容量的确定方法 本章重点：一个总体参数的区间估计方法；样本容量的确定方法。 本章难点：总体均值和总体方差的区间估计。 内容：

第一节 参数估计的基本原理

估计量与估计值；点估计与区间估计；评价估计量的标准

第二节 一个总体参数的区间估计

总体均值的区间估计；总体比率的区间估计；总体方差的区间估计。

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第三节 样本容量的确定

估计总体均值时样本容量的确定；估计总体比率时样本容量的确定。

第七章 相关与回归分析

要求：理解相关关系概念、分类，掌握单相关关系分析，学会相关系数的计算；相关分析与回归分析的区别联系；掌握一元线性回归分析，学会用最小二乘法估计回归参数，学会计算估计标准误差、可决系数。

本章重点：用最小二乘法估计回归参数，计算估计标准误差、可决系数。 本章难点：相关、回归分析法的应用。 内容：

第一节 相关分析

相关关系的概念与种类；相关系数，相关系数与可决系数。

第二节 一元线性回归分析

相关分析与回归分析的联系；总体回归函数与样本回归函数；回归系数的最小二乘估计；拟合度的度量。

学习难点解析

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（一）正确计算统计平均数

平均数是统计的基本指标与基本方法，在统计学中占有十分重要的作用，国外一位统计学家曾称：统计学是一门平均数的科学。因此，正确理解、计算、运用统计平均数，是学习统计的基本要求，也是学好后续统计方法特别是统计指数、统计评价、序时平均数等统计方法的关键。

统计平均数的计算方法按其资料的时间属性不同，分为静态平均与动态平均，前者属于截面数据的平均，即为一般平均数，后者为时间数列的平均，也称序时平均。序时平均是静态平均方法的具体应用。统计平均数的计算方法按其体现原始数据的充分性不同，主要可分为数值平均与位置平均，前者包括算术平均、调和平均、几何平均，它们均有简单式与加权式之分，实践中较常用的是算术平均、调和平均与几何平均。后者则指众数与中位数、四分位数等。这些平均方法与公式具有不同的应用场合或应用条件，实践中必须正确选择。但我们在多年的教学实践中发现，许多初学者往往无法正确区分这些不同平均方法的应用条件，特别是算术平均、几何平均、调和平均的应用条件，从而出现乱套公式的情况。

下面通过例题分析，与同学们谈谈如何正确计算算术平均数、调和平均数与几何平均数。 [例1]某企业报告期三个车间的职工人均日产量分别为：50件、65件、70件，车间日总产量分别为800件、650件、1050件。要求：计算三个车间的职工每人平均日产量。 [解题过程]

三个车间的职工每人平均日产量=Σm/Σ(m/x)

=(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70)=2500/41=60.98（件/人） [解题说明]本题从公式形式上看，是加权调和平均数。从内容上看，属于“统计平均数的平均数计算”，但初学者常常容易犯的错误是乱套公式。

最常见的错误是：选择算术平均数公式计算，即以三个车间的日总产量为权数，对三个车间的劳动效率进行算术平均：

（50×800+65×650+70×1050）/（800+650+1050）=155750/2500=62.3 另一类错误是采用简单平均公式计算平均产量，即（50+65+75）/3=63.33。

出现上述两类错误的根源是：没有正确理解社会经济统计中平均数的经济含义。其实，无论资料条件如何，职工人均产量的基本含义永远是：总产量/工人数。因此，本例资料只需要求出三个车间的总产量及三个车间的总人数即可。由所提供的资料可以知道，总产量已经知道了，为(800+650+1050)=2500，而各车间的职工人数却需要推算。因为各车间的总产量与该车间工人数之比即为该车间的人均产量，所以各车间职工人数应该等于总产量与人均产量之对比，三个车间的职工总人数应该为：(800/50+650/65+1050/70)=41人。 [例2]某企业集团下属的25个企业报告期计划利润计划完成程度如下表所示：

按计划完成程度分% 90以下 企业个数（个） 3

计划利润总额（万元） 800 5

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90-100 100-110 110以上 6 14 2 2200 6000 1000 合计 25 10000 要求：计算25个企业的平均计划完成程度及平均每个企业实现的利润额。 [解题过程] 平均计划完成程度=Σxf/Σf

=（800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%）/10000 =10220/10000=102.2% 平均每个企业实现的利润额=全部企业实现的利润总额/企业个数 =10220/25=408.8万元

[解题说明]本例是统计学中比较典型的“相对数的平均数计算”问题。我们所采用的是“加权算术平均数”公式，权数是每一组的计划利润额。

常见的错误有这样几种：

一种是组中值错误。组中值的一般计算方法是（上限+下限）/2，但对于这类“开口组”，其组中值应该按邻组的组距去推算。故本例第一组的组中值应该取85%，最后一组的组中值应该取115%。

第二种错误是用“企业个数”作权数计算平均计划完成程度，这说明没有正确理解平均计划完成程度的含义。其实，作为权数的指标f与变量值x之间的乘积应该具有实际经济意义的，本例若将企业个数与计划完成程度相乘，就不可能得到有实际意义的指标值（某一组的标志总量）。

第三种错误与之相类似，初学者也有以“企业个数×计划利润总额”为权数计算算术平均数，误以为表中的“计划利润总额”是平均每一个企业的计划任务。

第四种错误就是套用调和平均数公式。或是套用简单调和平均公式，或是以企业数为权数计算加权调和平均，或是以计划利润总额为权数计算调和平均，或是以企业个数与计划利润额之间的乘积为权数计算调和平均。这一错误产生的根源是：学习过程中没有正确理解统计平均数，只简单化地背一些公式，应用时就想当然地套用平均数公式。计算相对数的平均数时，必须首先明白该相对数的基本公式，即分子是什么，分母是什么。然后计算“分子总和”与“分母总和”，将这两个总和相除，就是相应的“平均数”。所以，平均计划完成程度的真实含义应该是“总实际/总计划”，因为计划完成程度的一般公式是“实际/计划”。

本例计算时，初学者不必猜测应该采用算术平均还是采用调和平均，也不必猜测应该以哪一项指标为权数，正确的思路是：由所给资料求出“分子总和”---25个企业总的实际利润，求出“分母总和”----25个企业总的计划利润。因本例已经知道了各组企业的计划总额，所以需要推算“实际利润总额”，其推算过程应该是“计划数×计划完成程度”。即，实际总利润=（800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%）。而总计划为（800+2200+6000+1000），二者的对比在形式上是一个加权算术平均数公式。因此，本例的计算方法就称为“算术平均数”。若本例不是提供“计划利润总额”而是提供“实际利润总

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额”，则计算平均计划完成程度时需要推算“计划利润总额”。而计划利润总额的推算需要采用“实际利润/计划完成程度”，在形式上表现为（m/x），因此，此时的平均计划完成程度在形式上就属于“加权调和平均数”。

[例3]设有三个车间报告期的产品生产情况如下表所示： 不合格品率% 不合格品件数(件) 5 500 2 190 4 372 ---- 1062 要求：①若这三个车间是同一产品生产流水线上的三个阶段（工序），则平均不合格品率为多少？②若这三个车间是独立生产完全相同产品的三个小组，则平均不合格品率是多少？ ③若这三个车间不仅完全独立，且所生产的产品使用价值完全不同，产品的出厂价格分别为300元/件、400元/件、1000元/件，则应该如何计算它们的平均不合格品率？

N[解题过程] ①平均合格品率

G??N?Xi?30.95?0.98?0.96i?1

?0.96325?96.325%

车间 甲 乙 丙 合计 平均不合格品率=1-96.325%=3.675%

②平均不合格品率=不合格产品总件数/全部产品总件数

HM??M1?XM??500?190?3721062??3.69P019037228800??5%2%4% ③平均不合格品率=不合格品产品总价值/全部产品总价值

?M 1?XM

HM?500?300?190?400?372?1000?3.7143P0190372?300??400??10005%2%4%[解题说明]本例分别三种情况计算平均不合格品率。

①对于第一个计算要求，关键是必须注意几何平均法的应用条件与要求。几何平均虽然适合于计算比率与速度的平均，但却是有条件的：要求变量值的连乘积等于总比率或总速度，否则就不能采用几何平均法。实践中一般有四种情况需要应用几何平均数公式计算平均值，一种情况是“连续作业的车间平均合格率与平均不合格品率”，第二种情况是“平均发展速度与平均增长速度”，第三种情况是“复利条件下的平均利率”。第四种是一些特殊需要，如综合评价合成值或统计指数计算时可以用几何平均法。

本例最常见的错误是：误用加权算术平均或加权调和平均或简单算术平均公式计算平均不平均合格品率，这显然忽视了“连续作业车间”这一特定条件。另一个常见的错误是：直接对不合格品率采用几何平均法计算，这里显然又忽视了“变量值连乘积等于总比率或总速

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