统计学学习指导与习题

度”这一基本计算要求。因为三个车间合格率的连乘积正好等于全厂生产该产品的总合格率或最终合格率，而三个车间不合格品率的连乘却没有太大的实际意义。从概率意义看，三个车间合格率的连乘正表示“三道工序均合格”，这样的产品才能算是最终的合格品，而三个车间不合格品率连乘的概率含义却是“没有一道工序是合格的”，显然它并没有将所有不合格品包括在内，任何一道工序的不合格对于最终产品而言就是不合格的，因此只有当三道工序全部合格时才算真正的合格。所以本采用先计算平均合格率，再计算平均不合格品率的路线。正是同样的道理，计算平均增长速度就不能直接用几何平均数公式，而应该先计算平均发展速度（因为环比发展速度可以连乘而环比增长速度不能连乘）；计算复利平均利率也不能直接用利率，而应该先计算平均的“本利率”，再减去100%以求得平均利率。

②对于第二个计算要求，与例1、2类似，属于“相对数的平均数”，只要记住：不合格率是不合格产品数量与总产量之对比，因此平均不合格品率就是三个车间总的不合格品产量与全部产量的对比，因题中已经提供了不合格品数量，需要借助“总产量=不合格品件数/不合格品率”来推算三个车间的产品总量，在形式上就是一个调和平均数公式。这题容易犯的错误仍然是误用加权算术平均数。但必须注意的是，调和平均数公式中不允许变量值为零，因此若某一车间的不合格品率为零时，就不可也无法直接采用加权调和平均数公式计算平均不合格品率，而应该先求平均合格品率（用加权算术平均），再从100%中扣除平均合格品率。 ③对于第三个计算要求，要求学生灵活学习统计方法。当三个车间的产品不是同一类型时，直接用实物量计算平均合格品率或不合格品率是不合理的，因为计量单位不同。为此，需要将不同计算单位的产品转化为相同的计量单位，目前比较方便的做法就是转化为价值量（货币量）指标或劳动量（时间）指标进行计算，因此本题的不合格品率计算时，分子分母全部改用“金额”指标。

（二）几何平均数在计算平均发展速度中的应用

几何平均数(Geometric mean)，也称几何均值，它是n个变量值乘积的n次方根，计算公式为：

G?nx1?x2?x3???xn?n

式中：G为几何平均数，

?xi?1ni (1)

?连乘符号。

当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用权数的形式。几何平均数权数型的计算公式为：

nG?

f1?f2?????fnx?xf11f22???xfnn??fii?1?xi?1nf (2)

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式中：f表示各变量值的次数(或权数)，

?fi?1ni表示次数(或权数)的总和。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度。

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的方法主要有水平法和累计法，其中水平法是最常用的方法。计算平均发展速度的水平法，又称几何平均法，它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。下面对此方法的计算公式和应用作一剖析。 假定时间数列为

a0,a1,a2,a3,??????,an。a其中0为最初水平，a1为第1期发展水平，a2为第2期发展水平，其它依次类推，

an为末期发展水平。

报告期发展水平x1?1x2?2x3?3xn?n环比发展速度?a0，a1，a2，an?1。前一期发展水平 则有： ??，

aaaa上述

x1,x2,x3,???,xn分别代表各期环比发展速度。

另外，我们知道定基发展速度等于相对应的各期环比发展速度的连乘积，即

ana1a2a3a????????na0a1a2an?1 (3) a0an?x,x,x,???,xn分别代入式(3)，得 a0x1?x2?x3?????xn 将123

a0x1?x2?x3?????xn?an (4)

在式(4)中，假定各期环比发展速度均相等，且都为x，则式(4)化为：

ax·x?x=a0 nna(x)?an (5) 0 则得到

式(5)中的x实际上就是平均发展速度，对式(5)继续简化得：

x?n

ana0 (6)

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把式(3)代入式(6)，也可得出：

x?nx1?x2?x3???xn (7)

式(6)和式(7)都是平均发展速度的常用计算公式。

实际上，式(7)就是式(1)即几何平均数的计算公式。上述的演算过程，事实上就是几何平均数的推导过程。

计算平均发展速度的水平法，其计算思路是：设最初水平为比发展速度发展，则到n期后达到的理论水平等于其实际水平(“水平法”。

按水平法计算的平均发展速度只取决于最初水平和最末水平，而与中间各期的水平无关，所以不能据此来推算中间各期的水平。实际应用中，如果现象发展在一定时期内是持续上涨或下降，且不是大起大落，目的是考核末期的水平，如GDP的变化，人口规模的变化，可用此方法来计算。另外，水平法同样有几何平均数的局限性，不能处理发展水平出现0或负数的情况。

[例1]某学院近几年来的招生规模不断扩大，2000年比1999年增长10%，2001年比2000年增长15%，2002年比2001年增长20%，2003年比2002年增长18%，试计算该学院近四年来平均每年的发展速度和平均每年的增长速度。

解：该题告知的是连续四年的环比增长速度，应先化为环比发展速度，然后利用水平法计算平均发展速度，再计算平均增长速度。做类似的题目要用多功能的计算器，否则非常困难。采用“x”或“x”的功能键进行演算。

y1ya0，以后每期均以x的环

an)。所以，该方法称其谓

x?nx1?x2?x3???xn4 x?110%?115%?120%?118%=115.69%

平均增长速度=平均发展速度-100%=115.69%-100%=15.69%

所以，该学院近四年来平均每年的发展速度为115.69%,平均每年的增长速度为15.69%。 [例2]某县1980年年初人口数为32万，当时计划到本世纪末(1999年末) 的人口总数控制在45万人之内，实际到1996年5月15日的人口总数就达到45万人。问：

⑴按原计划，1980年初到1996年5月15日的人口年平均增长速度为多少？ ⑵按原计划，到1996年5月15日止，该县人口数应该是多少？ ⑶实际1980年初到1996年5月15日止的人口年平均增长速度为多少？

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度增长，到2000年初，该县人口数将达到多少万？

解：⑴要计算平均增长速度，则先要计算平均发展速度。做类似的题目，一定要弄清楚时期数n，否则多算一年或少算一年都达不到预定的结果。该小题尽管问的是1980年初到1996

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年5月15日，但要计算的还是按原计划，即1980年年初到1999年末的人口发展速度。人口数是时点指标，从1980年年初到1999年末间隔20年，所以n=20。利用式(6)计算如下：

x?n

ana0?20

4532 =1.0172或101.72%

该期内人口年平均增长速度为：101.72%－100%=1.72%

⑵要计算到1996年5月15日止该县的人口数，当然它的平均发展速度是上小题的101.72%，本小题的关键是测算1980年年初到1996年5月15日止间隔了多少时间，我们这里仍以年为单位，1980年年初到1995年年底跨了16年，再1996年初到同年5月15日止又有4.5/12年，所以n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)计算：

a0(x)n?an 到1996年5月15日止的人口数＝32(101.72%)16.375= 42.3086(万人)

⑶1980年初到1996年5月15日止跨16.375年，即n=16.375，利用式(6)计算。

x?nana0?16.375

4532 =102.10% 实际平均增长速度＝102.10%－100%＝2.10％

⑷按照1980年初到1996年5月15日的实际增长速度，即2.10%，则发展速度为102.10%，

na?a(x)n0可用公式计算：

2000年初的人口数＝32(1.021) ＝48.49(万人) [例3]某煤矿1995年煤炭产量为25万吨。

⑴规定“九五”期间(1996年至2000年) 每年平均增长4%，以后每年平均增长5%，问到2003年煤炭产量将达到什么水平？⑵如果规定2003年煤炭产量是1995年产量的4倍，且“九五”期间每年平均增长速度为5%，问以后需要每年平均增长速度多少才能达到预定的产量水平？

解：⑴本小题分两个阶段，且有不同的平均增长速度。这里也要计算n，1996年至2000年有5年，n1=5；2001年至2003年有3年，n2=3。

20

an?a0(x1)n1(x2)n2 an=25×1.045 ×1.053=35.21(万吨)

⑵设后三年的平均增长速度为x，则 4=(1.05)×(1+x)

35

3

4?1?1.4634?15x=1.05=46.34%

所以后三年平均增长速度要46.34%才能达到预定的产量水平。

[例4]某地区1998年底人口数为2000万人，假定以后每年以9?的增长率增长；又假定该地区1998年粮食量为120亿斤，要求2003年平均每人粮食达到800斤，试计算2003年粮

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食产量应达到多少？粮食产量每年平均增长速度如何？ 解：先计算该地区2003年人口将达到什么水平

n5a(x)?2000?(1.009)?2091.6(万人) 02003年该地区人口数=

该地区要求粮食产量=2091.6×800=167.33(亿斤)

an167.33?1?5?1?106.88%?1?6.88?200粮食产量平均增长速度=

n所以，2003年粮食产量应达到167.33(亿斤)，粮食产量每年平均增长速度为6.88%。 （注：该题中假定人均粮食产量以期末人口数计算）

（三） 统计指标的时间性及序时平均问题研究

统计指标理论和方法属于统计学中最基本的内容。运动是物质存在的基本形式，自然和社会都离不开运动，而运动伴随着时间的流动。统计指标对运动中的客观总体进行描述必然会涉及到指标的时间性问题。总量指标是统计指标的最基本形式，而从时间的角度总量指标又可以分成时期指标和时点指标。时期指标是反映现象总体特征在一定时期内的数量表现，时点指标是反映现象总体特征在某一时刻的数量状况。时期指标与时点指标的分类对应或等同于经济学中的流量与存量。而经济学认为，将经济变量科学地划分为流量与存量两种类型，才能构建分析经济在时间轴上运动过程的严密理论体系。可见，准确理解时期指标和时点指标的涵义，不但为时间数列的分析打下扎实的基础，而且为研究经济学提供有效的手段。

经济学家在介绍流量与存量这一对科学概念的基本思想时，经常举的一个例子是著名的“水库系统水量变动模型”，假定一个水库有进水、有出水，整个系统在不断地发生运动，那么一段时间(即时期)内发生的进水量或出水量就是所谓流量，而在某一时刻(即时点)上水库中存有的水量就是所谓存量。所以，流量是事物在一定时期测度的变量，存量是事物在某个时点上测度的变量。水库系统与任何系统一样，是一个运动的系统，而运动系统往往伴随时间属性。人们对系统中水量这一变量的认识分两个方面：一是当时间从A点(起点)变动到B点(讫点)时所发生的运动量，即由流入量和流出量两方面组成的流量；二是在A时点或B时点上水库中存有的水量，即存量。而对A时点或B时点上水库中水存量的计量蕴含着一个假定前提，就是水库中的水既不发生流入，也不发生流出，假定运动停止，否则无法准确计量，这一点也真正体现了统计的思维形式。尽管现实中绝对“静止”即时间流动的停止是不存在的，但统计认识思想中的假设还是有着科学合理的方面。水库系统如此计量，那庞大的社会经济系统是否也能监测呢？

我们不妨采用理论物理学中的时空观念来解释统计指标的时间性问题。流动着的时间由一个射线表示，其上任意短的时间段(即时期)都是有无限多个点来构成的。而时间轴上的这些无限多个点中的每一个都对应着一个时点构成的集合，具有连续性的性质。人类统计活动中对某一特定时点上的总体现有存量进行计量，其必然要有“时间停止”的合理假设。在实

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