统计学学习指导与习题

际统计调查中，对时点现象所谓“标准时点”的确定及相关的种种条件规定，就是这种思想的直接体现。因此，任何对时点指标的统计调查不可能一个时点接着一个时点连续进行统计的，也就是说一个时点指标构成的时间数列必然是一个按照时间顺序的抽样结果，所有时点数列都必然是间断的。

通过上述分析，我们还可以看到，时间这一概念具有两层含义。时间轴上任意两点之间所夹的线段对应时期概念，而时间轴上的任意点所对应的是时点概念。时期和时点的差异也就决定了总量指标中的时期指标和时点指标具有不同的性质。时期指标的特点：（1）时期指标的数值是通过连续不断的登记取得的，它的每一个数据都说明现象在相应时期内发生的总量。（2）时期指标在不同时段上的数值可以累加。（3）时期指标的数值大小与时间间隔长短有直接关系。与此相对应，时点指标的特点：（1）时点指标的数值是间断计量取得的，反映现象在某一时刻所拥有的总量。（2）时点指标在各时点上的数值不可相加或相加毫无意义。（3）时点指标的数值大小与时间间隔长短无直接关系。

时间数列是某同类现象在不同时间上的一系列指标数值按时间先后顺序排列而形成的统计数列。其中，时期数列是指同类的时期指标按照时间先后顺序形成的数列，时点数列是指时点指标按时间先后顺序排列而形成的数列。它们特点上差异也取决于时期指标和时点指标的差异。平均发展水平是对时间数列中的各指标求平均，反映现象在不同时间的平均水平或代表性水平，称序时平均数，又称动态平均数。序时平均数的计算方法上也会根据时期指标和时点指标的差异有所不同选择。

介绍序时平均数的计算方法，有必要先分析时间数列的构成要素。设：总量指标的时间数列为at,其中t代表时间顺序号t=1,2,3,?n。则指标at时间数列由表1中所列的三个相互对应的要素构成。

表1 时间数列的构成 时间顺序号（t） 指标数值（at） 对应的时间长度（ft） 1 a1 f1 2 a2 f2 ?? ?? ?? n an fn 上表中，对应的时间长度(ft)是计算序时平均数不可缺少的一个要素。对于时期数列来说，这一时间长度ft就是作为流量的at发生的“起”和“讫”两个时点之间所夹的时期流长度。例如，某企业2003年5月份的总产值1000万元，对应的时间是该年5月1日0点到5月31日24点。对于时点数列来说，这一时间长度ft则是作为存量的at与其前一个值at-1之间所间隔的时间长度，即at对应的时点和at-1对应的时点之间所夹的时期。如在某企业月度库存额时间数列中，5月末的库存额300万元对应4月末的库存额200万元，它们之间的间隔为一个月。

由于序时平均数是对变量at在时间轴上面所表现的各个变量值的平均，其权数是“时间”。而这一“时间”对于时期数列来讲就是上面所讲的“作为流量的at发生的‘起’和‘讫’两个时点之间所夹的时流长度”，对于时点数列来讲就是“作为存量的at与其前一个值at-1

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之间所间隔的时间长度”。所以，计算序时平均数要考虑时间数列中的对应的时间长度(ft)。 时间数列计算序时平均数的计算公式与应用举例： 1.时期数列的序时平均数计算公式：

na?

?at?1nt?1tftt?f (1)

由于大多数时期数列的

f1?f2?????fn，所以一般常用(1)式的特例：

a?

?at?1ntn (2)

2.时点数列的序时平均数计算公式：

a0?a1a?ana?a2f1?1f2?????n?1fn222a??f1?f2?????fn

式(3)是时点数列计算序时平均数的通式。在

at?1?atft?2t?1n?ft?1nt (3)

f1?f2?????fn的场合下，作为一个特

例，式(3)可以简化为式(4)，即通常称为“首末折半法”的计算公式：

a0a?a1?a2?????n2a?2n (4)

这样，时期数列和时点数列的序时平均数计算公式主要有式(1)、式(3)组成，式(2)、式(4)是特例。另外，需说明的是式(3)、式(4)针对时点数列设计的公式，一般计算结果不是很精确，它们建立在假设的基础上的，即假定时点数列中两时点指标在所间隔期内是均匀变化的，即使有增减也是均匀地增加或均匀地减少。

3.相对数时间数列或平均数时间数列的序时平均数计算公式：

相对数时间数列或平均数时间数列是由两个相互联系的总量指标时间数列对比构成，所以它们计算序时平均数，可先分别计算相应的两个总量指标的序时平均数后再进行对比计算。其通用计算公式为：

c?

ab (5)

其中，a和b分别是作为对比的总量指标的序时平均数，c为相对数时间数列或平均数时间数列的序时平均数。作为总量指标的a或b可以都是时期指标，或都是时点指标，也可以一个是时期指标一个是时点指标，分别形成多种相应的公式。

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[例1]某商店2002年商品库存额资料如下： 日期 1月1日 1月31日 2月28日 3月31日 4月30日 5月31日 6月30日 库存额(万元) 63 60 55 48 43 40 50 日期 7月31日 8月31日 9月30日 10月31日 11月30日 12月31日 库存额(万元) 48 45 54 57 60 68

要求：试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年及全年的平均库存额。

解题分析：该题的资料商品库存额是时点指标，即时点数列计算序时平均数的问题，其时点间隔基本相等，可利用上述的式(4)来计算。

解题过程：本题主要采用“首末折半法”的计算公式。

2第一季度平均库存额=

11aa+a+a+?+n01222a=n4863 +60+55+32=56.83(万元)第二季度平均库存额=44(万元)第三季度平均库存额=48.33(万元) 第四季度平均库存额=59.33(万元)

56.83+44 = 5 0.17（万元）上半年平均库存额 =2

48.33+59.33 下半年平均库存额 = = 5 3.83（万元）2

56.83+44+48.33+59.33 =52.12（万元）全年平均库存额 =4

[例2]某企业2002年各月份记录在册的工人数如下：

日期 在册 工人数 1.1 2.1 4.1 6.1 9.1 12.1 12.31 326 330 335 408

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要求：试计算2002年企业平均工人数。

解题分析：该题的资料是时点数列且间隔不等，用上述公式(3)计算：

111（a+a）（a+a）（a+a）f+f+?+f01n-1n1212n222a=f+f+?+f12n326?330330?335412?412?2??2??????12222?2?????1解题过程：平均工人数= =385(人)

[例3]某工厂2003年上半年工人数和工业总产值资料如下： 月份 1 2 3 4 5 6 月初工人数(人) 1850 2050 1950 2150 2216 2190 总产值(万元) 250 272 271 323 374 373 另外，7月初工人数为2250人。

要求：根据上述资料计算：⑴上半年平均工人数；⑵上半年月平均总产值；

⑶上半年月平均劳动生产率；⑷上半年劳动生产率。

解题分析：本题提供了两个时间数列，一个是每月月初工人数构成的时点数列，另一个是每月的工业总产值构成的时期数列，所以计算(1)、(2)小题分别用相应的公式。(3)、(4)小题属于相对数或平均数时间数列计算序时平均数的问题，采用上述式(5)计算。(3)与(4)有所不同，(3)计算上半年月劳动生产率应该是上半年月均产值与上半年月均工人数相除，而(4) 计算上半年劳动生产率应该是上半年产值与上半年平均工人数相除，显然(3)与(4)的计算结果相差6倍。

解题过程：⑴上半年平均工人数 (人)

+2050+1950+2150+2216+2190+222101(人)a==6

⑵上半年月平均产值

a??a?250?272?271?323?374?373?310.5n6(万元)

⑶上半年月平均劳动生产率

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c?an?bb0?b?????bn122n?a

上半年的月均产值=上半年的月均工人数=310.5/2101=0.1478万元/人或1478元/人

⑷上半年劳动生产率

上半年的产值= 上半年的平均工人数=(250+272+271+323+374+373)/2101=0.8867万元/人（或8867元/人）

在这里也许有人会说怎么(3)与(4)小题计算式中的分母是一样的，即上半年的月均工人数与上半年的平均工人数相等。该问题应回到时点指标计算序时平均数的问题上来认识，由于时点指标不受时间间隔的影响，所以该工厂上半年的月均工人数与平均工人数几乎相等。我们也可举个身边的例子来说明， （四）统计指数解题分析

指数法是社会经济统计学的基本分析方法之一，在实践中有着广泛的应用。人们在日常生活中最熟悉的两类指数：物价指数与股价指数正是统计指数法的具体应用；财会分析中的“连环替代法”实质上就是统计指数分析法。指数法被广泛应用于测定现象综合数量变动方向与程度，应用于经济现象的变动因素分析。但许多初学者对统计指数方法总觉得很难学，总有很多学生不能正确计算指数、分析现象变动的数量原因。下面通过对典型的例题讲解来谈谈如何学好统计指数。 [例1]综合指数计算

某企业报告期与基期的产量与单位成本资料如下： 产单基 期 单位成本（万元） 40 5 12 ------ 产 量 200 100 500 ----报告期 单位成本（万元） 38 5 10 ------ 产量 220 150 600 ----- 基 期 总成本 p0q0 8000 500 6000 14500 报告期 总成本p1q1 8360 750 6000 15110 假定值p0q1 8800 750 7200 16750 品 位 甲 吨 乙 台 丙 套 合 要求计算：⑴单位成本总指数、产量总指数、总成本总指数。 ⑵从绝对数与相对数两个方面分析单位成本与产量变动对总成本的影响。 解题过程：⑴计算过程见上表：三个总指数计算如下：

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