2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．3(2a－4b)等于 ( ) A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b

2．下列各组向量中，能推出a∥b的是( )

e1＋e2e1＋e2①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.

22A．① B．①②

C．②③ D．①②③

→→→

3．设P是△ABC所在平面内的一点，且BC＋BA＝2BP，则( ) →→A.PA＋PB＝0 →→B.PC＋PA＝0 →→C.PB＋PC＝0 →→→D.PA＋PB＋PC＝0

→→→→→

4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333

→→→5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( ) →→→→A.AO＝2OD B.AO＝OD →→→→C.AO＝3OD D．2AO＝OD

6．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意→→→→

一点，则OA＋OB＋OC＋OD＝( )

→→A.OM B．2OM →→C．3OM D．4OM

→→→→

7．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，→→→→→→

AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC( )

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A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直

D．既不平行也不垂直

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________． 111

9. (a＋2b)－(5a－2b)＋a＝________． 464

→→→→10．在四边形ABCD中，AB＝3e，CD＝－5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是________． 12→→11．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若AB＝a，AC

23→

＝b，则DE＝________(用a，b表示)．

三、解答题(本大题共2小题，共25分) 得分 →→

12．(12分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－→

4e－f，CD＝－5e－3f.

→

(1)用e，f表示AD；

(2)证明：四边形ABCD为梯形．

13．(13分) 设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？

得分 →

14．(5分)已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP＝( )

→→

A．λ(AB＋AD)，λ∈(0，1) 2→→

B．λ(AB＋BC)，λ∈?0，?

2??→→

C．λ(AB－AD)，λ∈(0，1) 2→→

D．λ(AB－BC)，λ∈?0，?

2??

→→→

15．(15分)(1)设a，b是两个不共线的向量，已知AB＝3a－2b，BC＝－2a＋4b，CD＝－2a－4b，试判断A，C，D三点是否共线；

→→→

(2)在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝3a－2b，BD＝2a－4b，证明：四边形ABCD为平行四边形．

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1．D [解析] 利用向量数乘的运算律，可得3(2a－4b)＝6a－12b，故选D.

e2－e1e1＋e2312．B [解析] ①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以

2222

3e1＋3e23

a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，

22

则a与b不共线．

→→→→→→→→→

3．B [解析] 由BC＋BA＝2BP，得(BC－BP)＋(BA－BP)＝0，即PC＋PA＝0.

1→→→→→→2→1→2→2

4．A [解析] 依题意BD＝2DC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋AC＝b＋c，

33333

选A.

→→→→→

5．B [解析] 因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以→→→→

OA＝－OD，所以AO＝OD.选B.

6．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M是AC

→→→→

与BD的中点，即MA＝－MC，MB＝－MD.

→→→→→→→→→→

在△OAC中，OA＋OC＝(OM＋MA)＋(OM＋MC)＝2OM.在△OBD中，OB＋OD＝(OM→→→→→→→→→

＋MB)＋(OM＋MD)＝2OM.所以OA＋OC＋OB＋OD＝4OM，故选D.

→→→1→2→→1→2→→，得AD7．A [解析] 由AC－AD＝2AD＝AC＋AB.同理可得，BE＝BC＋－AB3333

1→→→1→2→→→→

BA，CF＝CA＋CB，所以AD＋BE＋CF＝－BC，故选A.

3333338．± [解析] 由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 555

151??11?151151115－＋a＋＋b＝－a＋b. 9．－a＋b [解析] 原式＝a＋b－a＋b＋a＝??464??23?364263436

3→→→→→→

10．等腰梯形 [解析] 由已知可得AB＝－CD，所以AB∥CD，且|AB|≠|CD|.

5

→→

又|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．

121→2→→→→1→2→1→2→→

11．－a＋b [解析] DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC

6323236312＝－a＋b.

63

→→→→

12．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.

→→→→→

(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度→

为BC长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．

13．解： d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝kc，

??2λ＋2μ＝2k，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由?得λ＝－2μ，故存在这样

?－3λ＋3μ＝－9k，?

的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

→→→→

14．A [解析] 由向量加法运算法则可知，AC＝AB＋AD.又点P在线段AC上，所以AP→→→→→→

与AC同向，且0<|AP|<|AC|，故AP＝λ(AB＋AD)，λ∈(0，1)．

→→→

15．解：(1)∵AC＝AB＋BC＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b， →→→→→

又CD＝－2a－4b＝－2(a＋2b)，∴CD＝－2AC，∴CD与AC共线．

→→

又∵CD与AC有公共点C，故A，C，D三点共线．

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