基本块的黑白总数量是不一样的（11黑9白，或9黑11白，可以不用算，知道不一样即可）。

但是，目标图形是“10黑10白”，黑白数量是一样的。5个基本块无法拼成目标图。 【答案】不能。

52、【补充1】由1个“田”字块和15个“凸”字块，能否拼成8×8的图？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】覆盖问题，黑白染色，考察基本块的黑白数量的奇偶性，奇偶矛盾。 1×4+15×4＝64，8×8＝64，数量是相等的。 1个“田”字块“2黑2

白”，黑的数量是偶数。“凸”字块是“3黑1白”或者“3白1黑”，黑的数量为奇数，15个奇数相加仍然是奇数。所以1个“田”字块和15“凸”字块黑的总数量为“偶数+奇数”＝“奇数”。 但是，目标图形是“32黑32白”，黑的数量是偶数。基本块与目标块，黑的数量的奇偶性矛盾，所以不能拼成。当然白的奇偶性也是矛盾的。

【答案】不能。

53、【例8】下表中，有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作。经过有限次操作后由做表变为右表，那么右表中A处的数是____。 【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】这是老师说的“邻格加减问题，差不变”，实际也是个“纯染色”问题，从条件“有公共边的两格同加或同减”想到了黑白染色。 左表，黑格数字和＝5，白格数字和＝0，黑格数字和－白格数字和＝5。

右表，黑格数字和＝2010×4+A，白格数字和＝2010×4，黑格数字和－白格数字和＝2010×4+A－2010×4。

有公共边的两格就是黑白格，根据“同加1同减1”的规则，多次操作后“黑格数字和－白格数字和”不会发生变化，所以：2010×4+A－2010×4＝5。即：A＝5。 【答案】5。

二、多色染色

54、【学案3】在8×8的国际象棋棋盘上有一枚棋子。它每一步只能向上、向右或向左下方走一步，如图。那么它能否从棋盘的左下角出发，走遍所有格，并且每个方格恰

好走一次呢？

【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】“纯染色”问题，3色染色，数量矛盾。

从题目给出的走法“向上、向右或向左下方走一步”，这3个方向是同一个颜色，无论往哪个方向走下一步的颜色都是相同的，并且下一步变色了。 左下角第1个位置是灰色，下一步第2个位置是白色，再下一步第3个位置是黑色，走棋按照“灰、白、黑”的顺序循环，3步一循环。

8×8＝64，64÷3＝21?1，余数为1，第64个位置为“灰”，所以“灰”22个、“白”21个、“黑”21个。

但是，棋盘上实际有：“灰”21个、“白”22个、“黑”21个。所以，不能走遍所有格并且恰好每格走一次。

本题是题目给出了染色方法，如果没有给出，是需要自己思考的，其实这个才是本题应该掌握的难点。为什么需要3色呢？按照下面的思路考虑。 左上角第1格是“白”第2格是“黑”，第2格的下一步可以往右、左下走，那么“黑”的右边和左下要同色，如果只用黑白2色，显然右边可以白色，但是左下白色就和上面的第1格白色相同了，所以“黑”的右边和左下需要第3种颜色（假设是灰），第1行按照“白、黑、灰”从左往右染色。 那么第2行以哪种颜色开始呢？从上一段的描述中就知道了，第1行的第2格是黑第3格是灰，黑的左下（第2行第1格）和右面（第1行第3格）颜色相同，所以左下（第2行第1格）是灰。第2行的右边继续按照“白、黑、灰”从左往右染色。同理得出，第3行以黑开始。

以上染色过程完全满足题目给定的条件要求，染色后，验证可知。 【答案】不能。

55、【例6】用9个1×4的长方形能否拼成一个6×6的正方形？请说明理由。 【难度级别】★★★★☆

【解题思路】覆盖问题，4色染色，数量矛盾。

此题，先思考黑白染色，因1×4的长方形黑白染色后，2黑2白，数量和奇偶性上都无法找出矛盾。所以考虑用多色染色，为什么呢？因为黑白2色无法准确“区分”1×4的4个格，使用4色来“区分”。“凸”可以用黑白区分，1×4的长条无法用黑白区分。 用数字表示颜色，如图： 9个基本块，1、2、3、4四种颜色各有9个。

但6×6的正方形中有1、2、3、

4四种颜色分别为：9个、10个、9个、8个。所以，无法用9个1×4的长条来拼成6×6的正方形。 【答案】不能。

三、条形染色

56、【例7】能不能用15个如图所示的“L”型和1个“田”字型纸板，拼成一个8×8的棋盘？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】覆盖问题，条形染色，奇偶矛盾。

本题，“L”型、“田”字型，使

用黑白染色，都是2黑2白，没有数量矛盾，也没有奇偶矛盾；“L”型、“田”型，这2种形状不太好使用多色染色；本题采用条形染色。

其实本题的条形染色是黑白染色的变形，第2行黑白和第1行黑白上下不是相间的，而是上下对齐的。 “田”字型必定盖住2黑2白。

“L”型可能盖住3黑1白，也可能盖住1白3黑（无论横着放还是竖着放），黑为奇数，15个“L”型，15个奇数相加仍然是奇数，再加上1个“田”字型的2黑。仍为奇数，黑的总数量为奇数。

但是，8×8的棋盘上，黑色数量为32，是偶数，奇偶性矛盾，不能拼成。 【答案】不能。

57、【补充2】用若干个2×2、3×3能不能拼成一个11×11的正方形？ 【难度级别】★★★★☆

【解题思路】11×11＝121，是个奇数，染色后11×11的目标图中黑或者白的总数总有一个是奇数。

而采用“1黑1白”的条形染色，2×2块肯定是2黑2白，黑白数量都是偶数，关键看3×3块，3×3块有可能黑的数量是奇数（3黑6白）也有可能白的数量是奇数（3白6黑），无法区分。

本题采用“2黑1白”的条形染色，3×3基本块的黑色总数与11×11的目标图会出现奇偶性矛盾。 2×2，放到大正方形中，函盖“2