解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2017年一定会有考查，复习时应加强训练． 类型1 利用视角测量长度(高度)

1．(2016·昆明市十县模拟)如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度．(结果保留整数，3≈1.7，2≈1.4)

解：根据题意得AB＝18，DE＝18，∠A＝30°，∠EBC＝60°.

DE18

在Rt△ADE中，AE＝＝＝183，

tan30°3

3

∴BE＝AE－AB＝183－18.

在Rt△BCE中，CE＝BE·tan60°＝(183－18)×3＝54－183， ∴CD＝CE－DE＝54－183－18≈5(米)． 2．(2015·红河模拟)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图)，站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α＝30°，底部B处的俯角β＝45°，已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度．(结果保留根号)

解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB， ∴四边形CDBE是矩形． ∴CE＝BD＝18.

在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°， ∴EB＝CE＝18.

AE

在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝，

CE

∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝63. ∴AB＝AE＋EB＝18＋63(米)．

答：①号楼AB的高度为(18＋63)米．

3．(2016·昆明西山区二模)如图，某新电视塔塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.629，cos39°＝sin51°≈0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)

解：∵∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴AC＝AB＝600米．

延长DE交AB于点F，则DF⊥AB，四边形DFAC为矩形． ∴DF＝AC＝600米．

BF

在Rt△BDF中，tan∠BDF＝，

DF

∴BF＝DF·tan39°. ∵CD＝AF，

∴CD＝AB－DF·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)． 答：大楼的高度CD约为114米． 类型2 方位角问题 4．(2016·云南考试说明)如图，A，B两城市相距100 km，现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB)．经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°，在B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)

解：过点P作PC⊥AB，C为垂足， 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.

∴AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB，

∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100. ∴(3

＋1)PC＝100. 3

∴PC＝50(3－3)≈63.4>50.

∴森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区． 5．(2016·楚雄模拟)如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．

(1)求∠BAO与∠ABO的度数；

(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．(参考数据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，2≈1.41，6≈2.45)

解：(1)作OC⊥AB于C，

由题意得，∠AOC＝45°，∠BOC＝75°， ∵∠ACO＝∠BCO＝90°，

∴∠BAO＝90°－∠AOC＝90°－45°＝45°，

∠ABO＝90°－∠BOC＝90°－75°＝15°.

(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下： ∵在Rt△OAC中，∠ACO＝90°，∠AOC＝45°，OA＝8海里， ∴AC＝OC＝

2

OA≈4×1.41＝5.64(海里)． 2

∵在Rt△OBC中，∠BCO＝90°，∠BOC＝75°，OC＝42海里， ∴BC＝OC·tan∠BOC≈5.64×3.73＝21.037 2(海里)． ∴AB＝AC＋BC≈5.64＋21.037 2＝26.677 2(海里)．

∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援， ∴中国渔政船所需时间为26.677 2÷28≈0.953(小时)＜1小时．

故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到． 类型3 其他问题

6．(2016·昆明模拟)如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)

解：在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200 m， 1

∴BD＝AB＝100 m.

2

在Rt△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200 m， ∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134(m)． ∴BD＋CE≈100＋134＝234(m)．

答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m.