第4节 椭 圆

【选题明细表】 知识点、方法 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 基础巩固(时间:30分钟)

题号 1,2,3,7 4,6,8,9 5,10,11,12,13 1.已知椭圆(A)2 解析:4=+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( B ) (C)4

(D)9

(B)3

(m>0)?m=3,

故选B.

2.(2018·宝鸡三模)已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( C )

(A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:因为F1(-1,0),F2(1,0), 所以|F1F2|=2,

因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4,

所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,

2

因为2a=4,a=2,c=1,所以b=3.

所以椭圆的方程是+=1.故选C.

,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,

3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(则椭圆方程为( C )

(A)+y=1 (B)x+22

=1 (C)+=1 (D)+=1 - 1 -

解析:依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有由此解得a=20,b=5,因此所

22

求的椭圆方程是+=1,选C.

4.(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+ =1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于( A )

(A) (B) (C) (D) 解析:因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,

所以=2, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由椭圆定义知x+2x=2a,

所以x=, 所以|PF2|=, 则|PF1|=, 2

2

2

由勾股定理知|PF2|+|PF1|=|F1F2|,

所以解得c=a, 所以e==,选A.

5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△

OAB的面积为( B )

(A)

(B) (C) (D) - 2 -

解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.

联立椭圆方程解得交点为(0,-2),(,), 所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|

=×1× =, 故选B.

6.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a= .

解析:由题可知c=2. ①

2

当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=2,解得a=4. ②

2

当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=2, 解得a=8.

故实数a=4或8. 答案:4或8

7.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(方程为 .

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解析:设椭圆方程为mx+ny=1(m>0,n>0且m≠n).

因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.

,1),P2(-,-),则椭圆的

则得 所以所求椭圆方程为+=1. 答案:+=1 8.(2018·安徽模拟)已知F1,F2是长轴长为4的椭圆C:上一点,则△PF1F2面积的最大值为 .

+=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆

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解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,a=2,b+c=4,P是椭圆上一点,

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△PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc≤当b=c=答案:2

时,三角形的面积最大.

=2,当且仅

能力提升(时间:15分钟)

9.(2018·河南一模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( A )

(A) (B) (C) (D) 解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),则得所以A′(-3,2).

, 连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2所以2a≥2. 所以椭圆C的离心率的最大值为==.故选A.

10.(2018·临沂三模)直线x+4y+m=0交椭圆( A )

(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则

+y=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于

2

+=1,+=1两式相减,

=-·, 结合直线的斜率为-,AB中点横坐标为1,

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