坐标系与参数方程
考向一：极坐标方程
极坐标
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
01ρcosθ，??x＝□?
02ρsinθ；??y＝□
03x2＋y2，?ρ2＝□??
04yxtanθ＝□?x?
1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)＋y＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
??x＝tcosα，
(2)直线l的参数方程是?
?y＝tsinα?
22
(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，
求l的斜率．
2
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
2
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2＝144cosα－44.
ρ1＋ρ
22
－4ρ1ρ2
3152
由|AB|＝10得cosα＝，tanα＝±. 83
1515或－. 33
解法二：将l的参数方程代入C的方程得 0 于是t1＋t2＝－12cosα，t1t2＝11. 所以l的斜率为
|AB|＝|t1－t2|＝144cosα－44
3152
由|AB|＝10得cosα＝，tanα＝±. 83
2
所以l的斜率为
1515或－. 33
π
条件探究：若直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l与C交于M，N两点，求△CMN的
4面积．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋ ρ＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－ ，ρ1ρ2＝11.
2|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ2－4ρ1ρ2＝ 圆C的半径为5，△CMN的面积为 . 2
A(2,0)，B(2,)，C(2,2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，
?4??)，4?D(2,?)，(1,0)(1,)，(1,?)，弧AB，BC，所在圆的圆心分别是，曲线M1是弧AB，CD2曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|? 3，求P的极坐标．
【答案】（1）M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin?????（2）?3,?π?43π??3π????2cos????π?． M，的极坐标方程为3??4??4???π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????．
6??3??3??6?【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，
??2sin?，???2cos?．
所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin??????π?43π??3π?M???2cos????π?． ，的极坐标方程为3??4??4?
（2）设P(?,?)，由题设及（1）知
ππ，则2cos??3，解得??； 46
π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π若． ???π，则?2cos??3，解得??46若0???综上，P的极坐标为?3,??π??π??2π??5π?或或或3,3,3,???????． 6??3??3??6?3、［2017?全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cosθ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
22
因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积
????S＝|OA|·ρB· in∠AOB＝4cosα·?sin?α－??
3
?
?
??
π?3??
＝2?sin?2α－－?≤ ＋3. ??3?2???π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12所以△OAB面积的最大值为2＋3.
4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线
12
π
C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．
（1）当?0=
?
时，求?0及l的极坐标方程； 3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）?0?23，l的极坐标方程为?cos?????????2； 3?（2）??4cos?,???,?．
42??????