2011

年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（09解三角形）

一、选择题：

1．(2011辽宁理)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，

b?（ ） a A．23 B．22 C．3 D．2

2222. (2011四川文、理)在?ABC中．sin?sinB?sinC?sinBsinC.则A的取值范围是（ ）

则 (A)(0，

????] (B)[ ，?) (c)(0，] (D) [ ，?) 6633

2. 答案：C

解析：由题意正弦定理

b2?c2?a21?a?b?c?bc?b?c?a?bc??1?cosA??0?A?bc23

2222223．(2011天津理)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB?CD,2AB?3BD,BC?2BD，

则sinC的值为 ( )

A．3366 B． C． D． 3636

【答案】D

【解析】设BD＝2，则AB?AD?3，BC?4，由余弦定理得

AD2?BD2?AB23?4?33， cos?ADB???2?AD?BD32?3?2162∴sin?BDC?1?cos?BDC?1??.

33由正弦定理得

116642?，即sinC?sin?BDC??. ?2236sin?BDCsinC

4. (2011浙江文)在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则

sinAcosA?cos2B? ( )

11(A)- (B) (C) -1 (D) 1

22【答案】D

【解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sinB，

∴sinAcosA?cosB?sinB?cosB?1.

5．(2011重庆文)若△ABC的内角，A,B,C满足6sinA?4sinB?3sinC，则cosB?（ ）

A．2222153 B． 44C．315 16D．

11 16

2（a?b）?c2?4，且C=60°，6．(2011重庆理)若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

则ab的值为（ ）

A．

42 B．8?43 C． 1 D． 33二、填空题：

1.(2011安徽理)已知?ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则?ABC的面积为_______________

o

1.153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积. 【解析】设三角形的三边长分别为a?4,a,a?4，最大角为?，由余弦定理得，则a?10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S?

2. (2011北京文)在ABC中，若b?5,?B?【答案】

1?6?10?sin120?153. 2?1,sinA?，则a? . 4352 3【解析】：由正弦定理得

a552ab?1,a?又b?5,?B?,sinA?所以? ?1?3sinAsinB43sin34

?B?3. (2011北京理)在?ABC中。若b=5，

【答案】

?4，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

25 210 5【解析】由tanA?2?

sinA1?2?cosA?sinA，又sin2A?cos2A?1所以cosA2255?251a55则a?210。 ，正弦定理得sin2A?sin2A?1解得sinA??,a?5425sin?2452

4. (2011福建文) 若△ABC的面积为3，BC=2，C=60?，则边AB的长度等于_____________. 解析：s?1?2?AC?sin60?3,AC?2， 2所以△ABC为等边三角形，故边AB的长度等于2.答案应填2.

5. (2011福建理)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23， 点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。

解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=23中，?ACB??ABC?30， 而∠ADC=45°，

ACAD,AD?2,答案应填2。 ?sin45sin30

6.(2011全国新课标卷文)△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。

解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 有余弦定理得

AB2?AC2?BC?2AC?BCcos120

20所以BC=3，有面积公式得S=

153 47. (2011全国新课标卷理)在VABC中，B?60,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。

解析：A?C?120?C?120?A,A?(0,120),

000BCAC??2?BC?2sinA sinAsinBABAC??2?AB?2sinC?2sin(1200?A)?3cosA?sinA； sinCsinB?AB?2BC?3cosA?5sinA?28sin(A??)?27sin(A??)，故最大值是27

8. (2011上海文、理)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若?CAB?75,?CBA?60，则A、C两点之间的距离为 千米. 8、6；

三、解答题：

1. (2011安徽文) (本小题满分13分) 在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，1?2cos(B?C)?0，求边BC上的高.

1.【解题指导】先对cos?B?C???cosA恰当的变形，再利用三角形中的正弦定理以及三角形中的边角关系,求出角B,本题得解.

【解析】∵在?ABC中,cos?B?C???cosA,?1?2cos(B?C)?1?2cosA?0,

?A??3.

bsinA2ab?,?sinB?. ?a2sinAsinB?5a?b,?B?,?C????A?B???.

41221236?2?sinC?sin?B?A??sinBcosA?cosBsinA????? 222246?23?1?. ?BC边上的高为bsinC?2?42在?ABC中,根据正弦定理,

【规律总结】本题在三角形这一背景下，主要考查了考生处理涉及三角形的边角关系问题的能力. 解

斜三角形时，要根据所给条件灵活的选择正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边这两种途径，实现边和角的相互转化。三角形的面积有多种计算方法，在解题中要注意灵活选用，要注意s?1absinc这一面积公式与正余弦定理的结合. 2

2．(2011湖北文、理)（本小题满分12分） 设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

已知a?1,b?2,cosC?

14（I） 求?ABC的周长； （II）求cos(A?C)的值。

2．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分） 解：（Ⅰ）

c2?a2?b2?2abcosC?1?4?4?1?4 4?c?2.

??ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5.

112152. （Ⅱ）cosC?,?sinC?1?cosC?1?()?44415asinC15?sinA??4? c28a?c,?A?C，故A为锐角， ?cosA?1?sin2A?1?(1527)?. 8871151511????. 848816?cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC?

3．(2011湖南文、理)（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求3sinA-cos（B+

?）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。 4 3．（本小题满分12分）解析：（I）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC.

因为0?A??,所以sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1,则C?（II）由（I）知B??4

3??A.于是 43sinA?cos(B?)?3sinA?cos(??A)4?3sinA?cosA?2sin(A?).

63???11????0?A?,??A??,从而当A??,即A?时,46612623??2sin(A?)取最大值2． 6综上所述，3sinA?cos(B???4)的最大值为2，此时A??3,B?5?. 12

4、(2011江苏)（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A??6)?2cosA, 求A的值；