43.(09昌平一模) .已知?AOB?90?,OM是?AOB的平分线.将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动,点P不与点O重合.
(1)如图,当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时,请判断PC与PD的数量关系,并证明你的结论;
3GDPD,求的值; 2OD(3)若直角RPS的一边与射线OB交于点D,另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E,且以P、D、E为顶点的三角形与?OCD相似,请画出示意图;当OD?1时,直接写出OP的长.
(2)如图,在(1)的条件下,设CD与OP的交点为点G,且PG?44.(09昌平二模) 图1是边长分别为43 和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合). (1)固定△,将△绕点顺时针旋转得到△,连结(如图2).此时线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)设图2中的延长线交于,并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△设为△(如图3).设△移动(点在线段上)的时间为x秒,若△与△重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)若固定图1中的△,将△沿方向平移,使顶点C落在的中点处,再以点为中心顺时针旋转一定角度,设,边交于点M,边交于点N(如图4).此时线段的值是否随的变化而变化?如果没有变化,请你求出的值;如果有变化,请你说明理由.
图1 图2 图3 图4
45.(09通州二模) 如图:是⊙O的直径,是弦,,延长到点, 使得.
(1)求证:是⊙O的切线; (2)若,求的长.
46.(09房山二模) 已知:如图,AB为⊙O的直径,AD为弦,∠DBC =∠A.
(1)求证: BC是⊙O的切线;
(2)若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.
47.(09朝阳二模) 在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△(使<180°),连接、,设直线与AC交于点O. (1)如图①,当AC=BC时,:的值为 ;
(2)如图②,当AC=5,BC=4时,求:的值;
(3)在(2)的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.
图① 图②
48.(09东城二模) 如图,在直角梯形ABCD中,AD09门头沟二模) .在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连结BE,且BE=2AE, BD是∠EBC的平分线.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.
(1)当点P在线段ED上时(如图①),求证:; (2)当点P在线段ED的延长线上时(如图②),请你猜想三者之间的数量关系(直接写出结果,不需
说明理由);
(3)当点P运动到线段ED的中点时(如图③),连结QC,过点P作PF⊥QC,垂足为F,PF交BD于点
G.若BC=12,求线段PG的长.
50.(同上).如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(4,0),点B(0,3),点P从点B出发沿BA方
向向点A匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动,速度为每秒2个单位长度,连结PQ.若设运动的时间为t秒 (0<t<2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)设△AQP的面积为,求与之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分?若存在,请求出此时的值;
若不存在,请说明理由;
(4)连结PO,并把△PQO沿QO翻折,得到四边形,那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?若存
在,请求出此时点Q的坐标和菱形的边长;若不存在,请说明理由.
参 考 答 案
(一)精心选一选
1.B
(二)细心填一填
13. 【答案】
8;42. 14.【提示】分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况 【答案】±1. 315.【提示】由△ABC∽△BCD,列出比例式,求出CD,再用△ABC∽△AED. 【答案】10. 16.【提示】延长FE交CB延长线于H点,则AF=BH,考虑△AFG∽△CHG. 【答案】1︰5.
17.【提示】分“”类和“”类两类. 【答案】6对.
2
18. 【答案】∠B=∠ACP,或∠ACB=∠APC,或AC=AP·AB. 19. 【答案】6. 20.【提示】作EF∥BC交AD于F.设BE交AD于O点,先求出OD长和OB长,最后用勾股定理求出BD的长. 【答案】144.
21. 【提示】作AE∥DC交BC于E点,由Rt△ABE∽Rt△CBA,依次算出BE、AB的长,最后求出AE的长,即可求出
梯形面积. 【答案】36.
(三)认真答一答
22.【提示】延长EA,与CD的延长线交于P点,则△APD∽△EPF∽△BPC. 【答案】
20 1323.方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10×10的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形,并加以证明(要求所画三角形是钝角三角形,并标明相应字母).
【提示】先任意画一个格点钝角三角形,然后三边都扩大相同的倍数,画出另一个格点钝角三角形. 24.【提示】过F点作FG∥CB,只需再证GF=DF.
【答案】方法一:作FG∥BC交AB延长线于点G.
∵ BC∥GF,
∴
ACAF=
BCGF.
又 ∠BDC=90°,BE=EC, ∴ BE=DE. ∵ BE∥GF, ∴
DFGF=
DEBE=1. ∴ DF=GF. ∴
方法二:作EH∥AB交AC于点H.∵ ∠BDC=90°,BE=EC,
∴ BE=DE. ∴
ACAH=
BCBE,
AFDF=
ACAF=
BCDFAH, DE.
ACAF=
BCDF.
25.如图,在△ABC中,AB=AC,延长BC至D,使得CD=BC,CE⊥BD交AD于E,连结BE交AC于F,求证AF=FC.
【提示】先证△BCF∽△DBA,再证
FC1=. AC2【答案】∵ BC=CD,EC⊥BD, ∴ BE=DE,∠FBC=∠D.
又 AB=AC, ∴ ∠BCF=∠DBA.