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S F 01（数）

Ch 17 多元函数微分学

计划课时： 1 6 时

P 215 — 230

2002. 08.20 .

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Ch 17 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) § 1 可微性 ( 4 时 )

一． 可微性与全微分：

1． 可微性： 由一元函数引入.

?((?x)2?(?y)2)亦可写为??x???y,

(?x , ?y)?( 0 , 0 )时(? , ?)?( 0 , 0 ).

2． 全微分:

例1 考查函数f(x,y)?xy在点( x0 , y0 )处的可微性 . [1]P140 E1

二.

1. 2.

3.

偏导数:

偏导数的定义、记法:

偏导数的几何意义: [1]P142 图案17—1. 求偏导数:

例2 , 3 , 4 . [1]P142—143 E2 , 3 , 4 .

例5 例6 例7

f(x,y)?(x2?2x?3)sin(2y?1). 求偏导数.

f(x,y)? xln(x?1)?y2?1. 求偏导数. f(x,y)?

x?yx?y22. 求偏导数, 并求fx( 2 , ?1 ).

例8

3x2?y2?2f(x,y)?xy?(x?2)ln. 求fy( 2 , y )和fy( 2 , 1 ). 222y?x?122解 fy( 2 , y )=f?( 2 , y )?(2y)??4y,

fy( 2 , 1 )=f?( 2 , y )精品文档

y?1?4.

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例9

?x3?y2, x2?y2?0 ,?2f(x,y)??x?y2

? x2?y2?0 .?0 , 证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )连续 , 并求fx( 0 , 0 )和fy( 0 , 0 ).

证

(x,y)?(0,0)lim?2(?cos3??sin2?)f(x,y)???????????lim?

??0?x??cos?,y??sin? ?lim?(?cos??sin?)?0?f(0,0). f(x,y)在点( 0 , 0 )连续 .

??032f(x,0)?f(0,0)x3?lim?0, fx( 0 , 0 )?limx?0x?0xx|x|f(0,y)?f(0,0)y2?lim fy( 0 , 0 )?lim 不存在 .

y?0y?0y|y|y

Ex [1]P152 1⑴—⑼，2 — 4 . [4]P354— 355 15，17，18，23，24.

三.

1.

可微条件:

必要条件:

Th 1 设(x0 , y0)为函数f(x,y)定义域的内点 . f(x,y)在点(x0 , y0)可微 ,

? fx(x0 , y0)和fy(x0 , y0)存在 , 且

df(x0,y0)?df(x0,y0)?fx(x0 , y0)?x?fy(x0 , y0)?y. ( 证 )

由于?x?dx , ?y?dy, 微分记为

df(x0,y0)?fx(x0 , y0)dx?fy(x0 , y0)dy.

定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 精品文档