∴

y?earctanx1arctan211)。 的凹区间为(??,]，凸区间为[,??)，拐点为(,e2221★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：

ex?ey?e（1）

2x?y2(x?y)； （2）cosx?ycosx?cosyππ?,?x,y?(?,)。 2222知识点：函数凹凸性的概念。

思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线

性组合时可考虑利用函数的凹凸性。

xx证明：（1）令y?e，∵y???e?0，∴y?e在(??,??)内是凹的。

xex?ey?e利用凹函数的定义，?x,y?(??,??)(x?y)，有

2（2）令

x?y2，结论成立。

ππππy?cosx，∵在(?,)内，y????cosx?0，∴y?cosx在(?,)内是凸的。利

2222ππx?ycosx?cosy用凸函数的定义，?x,y?(?,)(x?y)，有cos，结论成立。 ?2222x?1★★★9.求曲线y?的拐点。

x2?1知识点：导数的应用。 思路：同7。

1?2x?x2x?1解：y?2的定义域为(??,??)，y??， 22(1?x)x?1(2?2x)(1?x2)2?(1?2x?x2)?4x(1?x2)2(x?1)(x2?4x?1)y????

(1?x2)4(1?x2)3令y???0，得x1??1，x2,3?2?3；现列表讨论如下：

x (??,?1)?1(?1,2?3)2?3 － (2?3,2?3) 2?3 － (2?3,??) f??(x) 0 ? 0 0 ? f(x) ? ? ? ? 由上表可知，拐点为(?1,?1)、(2?3,1?38?43)、(2?3,1?38?43)。

★★10.问a及b为何值时，点(1,3)为曲线

y?ax3?bx2的拐点？

知识点：导数的应用。

思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。 解：y?ax?bx的定义域为(??,??)，y??3ax?2bx，y???6ax?2b；

将(1,3)代入将(1,3)代入由①②得，a322y?ax3?bx2中，得：3?a?b①；

y???6ax?2b中，得：0?6a?2b②；

??39，b?。 22y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得在x??2处曲线有水平切线，

★★★11.试确定曲线

(1,?10)为拐点，且点(?2,44)在曲线上。

知识点：导数的几何意义及导数的应用。

思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知

条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。

2解：y??3ax?2bx?c，y???6ax?2b； 将(?2,44)代入y?ax?bx?cx?d，得

3244??8a?4b?2c?d ①

将(1,?10)分别代入

y?ax3?bx2?cx?d与y???6ax?2b中，得

?10?a?b?c?d ②； 0?6a?2b ③

将x??2代入y??3ax2?2bx?c中，得 0?12a?4b?c④

?1，b??3，c??24，d?16。

由①②③④得，a★★★12.试确定

y?k(x2?3)2中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

知识点：导数的应用。

思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出k值。 解：y?k(x?3)的定义域为(??,??)；y??4kx(x?3)，y???12k(x?1)；

令

2222y???0，得x1,2??1。易知，当x的取值通过x1,2??1的两侧时，y???12k(x2?1)会变号，

y?k(x2?3)2的拐点；∵y?x?1∴(1,4k)与(?1,4k)均为

??8k，y?x??1?8k，

∴两拐点处法线方程分别为：

y?4k?11(x?1)，y?4k??(x?1)； 8k8k2又两法线过原点，将(0,0)代入法线方程，得32k?1，解得k??28。

★★★★13.设函数

y?f(x)在x?x0的某邻域内具有三阶导数，如果f??(x0)?0，

而

f???(x0)?0，试问(x0,f(x0))是否为拐点，为什么？

知识点：导数的应用。

思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。

方法一：f??(x0)?0，f???(x0)?0不妨设f???(x0)?0，即

f???(x0)?limx?x0f??(x)?f??(x0)f??(x)?lim?0； x?0x?x0x?x0由极限的保号性知，必存在δ?0，使得?x??(x0,δ)，均有

f??(x)?0； x?x0从而当x0∴(x0,f?δ?x?x0时，有f??(x)?0，当x0?x?x0?δ时，有f??(x)?0；

(x0))为拐点。

内容概要 名称 3.5 函数的极值与最大值最小值 主要内容（3.5） 极值的概念：设函数恒有若对该邻域内任意一点x（x?x0），f(x)在点x0的某个邻域内有定义，f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），。 f(x)的极大值点（或极小值点）第一充分条件：设函数以不存在）， （1）若在x0的左邻域内，则而x0成为函数函数极值的 判别法 f(x)在点x0的某个邻域内连续且可导（f?(x0)可f?(x)?0；在在x0的右邻域内，f?(x)?0，f(x)在x0处取得极大值f(x0)； f?(x)?0；在在x0的右邻域内，f?(x)?0，（2）若在x0的左邻域内，则f(x)在x0处取得极小值f(x0)； f?(x)不变号，则f(x)在x0处没有极值。 （3）若在x0的左邻域内，注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。 第二充分条件：设f(x)在x0处具有二阶导数，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，则 （1）当（2）当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值； f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极小值。 注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。 函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系

习题3-5

★★1.求下列函数的极值：

（1）

ln2x132f(x)?x?x?3x； （2）y?x?ln(1?x)； （3） y?x3；

（4）

y?x?1?x； （5） y?excosx； （6）f(x)?(x?1)?3x2。

知识点：极值的充分条件。

思路：求y??0的点或者y?不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极

值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。

解：（1）方法一： f(x)?令

13x?x2?3x的定义域为(??,??)， 3f?(x)?x2?2x?3?0，得x1?3，x2??1；现列表讨论如下：

x (??,?1) ? ↗ ?1 0 极大值点 (?1,3) － ↘ 3 (3,??) ? ↗ f?(x) f(x) 由上表知，

0 极小值点 f(x)?135x?x2?3x在x??1处取得极大值为f(?1)?，在x?3处取得极小值为

33f(3)??9。

2方法二：令f?(x)?x?2x?3?0，得x1?3，x2??1；

由

f??(x)?2x?2得，f??(?1)??4?0， f??(3)?4?0，

∴由极值的第二充分条件知，在xf(x)?135x?x2?3x在x??1处取得极大值为f(?1)?，

33?3处取得极小值为f(3)??9。

?x?ln(1?x)的定义域为(?1,??)，令y??1?（2）方法一：y当?1?1x??0，得x?0； 1?x1?xx?0时，有y??0；当x?0时，有y??0，

y?x?ln(1?x)在x?0处取得极小值为f(0)?0。

∴由极值的第一充分条件知，

方法二：y?x?ln(1?x)的定义域为(?1,??)，令y??1?1x??0，得x?0； 1?x1?x又由

y???1(1?x)2，得

y??(0)?1?0，

y?x?ln(1?x)在x?0处取得极小值为f(0)?0。

2∴由极值的第二充分条件知，

ln2x（3） 方法一：y?x现列表讨论如下：

2lnx?ln的定义域为(0,??)，令y??x2x?0，得x1?1，x2?e2；

x (0,1) － 1 0 极小值点 (1,e2) ? ↗ e2 (e2,??) － f/(x) 0 极大值点 f(x) ln2x由上表知，y?xln2x方法二：y?x在x↘ ↘ ?1处取得极小值为y(1)?0，在x?e2处取得极大值为f(e2)?4e2。

2lnx?ln2x?0，得x1?1，x2?e2； 的定义域为(0,??)，令y??2x2?6lnx?2ln2x22????y(1)?2?0由y???，得，y(e)???0； 36xeln2x∴由极值的第二充分条件知，y?x在x?1处取得极小值为y(1)?0，在x?e2处取得极大值为

f(e2)?（4）

4e2。

y?x?1?x的定义域为(??,1]，令y??321?x?1?0，得x?；

421?x33时，有y??0；当?x?1时，有y??0， 44335∴由极值的第一充分条件知，y?x?1?x在x?处取得极大值为f()?。

444当x?注：此题中y??的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件。

（5） 令

y?excosx的定义域为(??,??)，

y??ex(cosx?sinx)?0，得x?kπ?πx，(k?Z)；由 y????2esinx，得 4