ππ2kπ?(2kπ?1)?ππ4y??(2kπ?)??2e4?0， y??((2k?1)π?)?2e?0， k?Z；

44∴由极值的第二充分条件知，

π22kπ?4πey?ecosx在x?2kπ?处取得极大值为y(2kπ?)?，

424xππ2(2k?1)π?4πe在x?(2k?1)π?处取得极小值为y((2k?1)π?)??，k?Z。

424注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。

（6）

πf(x)?(x?1)?3x2的定义域为(??,??)，令f?(x)?5x?22?0，得x1?；

533xx2?0为不可导点；现列表讨论如下：

x (??,0) ? ↗ 0 0 极大值点 2(0,) 5－ ↘ f?(x) f(x) 由上表知，

2 50 极小值点 2(,??) 5? ↗ f(x)?(x?1)?3x23在x?0处取得极大值为f(0)?0，在x?

2处取得极小值为5

234f()??5525。

注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。

★★★2.试证：当

a?b?1?0时，

x2?ax?bf(x)?取得极值。

x?1知识点：函数取得极值的条件。

思路：在定义区间内求f?(x)?0的点，然后利用极值的充分条件进行判断。

证明：

x2?2x?a?bx2?ax?b?0， f(x)?1)?(1,??)，令f?(x)?的定义域为(??,2(x?1)x?12 ∵方程x?2x?a?b?0根的判别式：??4?4(a?b)?4(a?b?1)

∴当a?b?1?0时，得驻点为x1,2?1?1?a?b；由f??(x)?2(1?a?b)(x?1)3，得

f??(1?1?a?b)?2(1?a?b)2??0， 3(1?a?b)1?a?bf??(1?1?a?b)?2(1?a?b)2???0， 3(?1?a?b)1?a?b∴

x2?ax?bf(x)?在x?1?1?a?b处取得极小值，在x?1?1?a?b处取得极大值。

x?1★★3.试问a为何值时，函数

1π

f(x)?asinx?sin3x在x?处取得极值，并求出极值。

33知识点：取得极值的条件。

思路：利用极值的必要条件，确定a的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。 解：根据题意，得f?(x)π3x??(acosx?cos3x)x?π3π?acos?cosπ?0，

3即由

a?1?0，a?2； 2f??(x)??2sinx?3sin3x，得f??()??3?0，

3ππ∴f(x)在x ?处取得极大值f()?3。

33?