2016年浙江省金华市中考数学试卷 下载本文

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)①根据函数解析式求出点A、B的坐标,求出AC的长;

②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N,根据抛物线的轴对称性求出OM,利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;

(2)过点B作BK⊥x轴于点K,设OK=t,得到OG=4t,利用待定系数法求出抛物线的函

数表达式,根据抛物线过点B(t,at),求出

2

的值,根据抛物线上点的坐标特征求出的

值.

22

【解答】解:(1)①二次函数y=x,当y=2时,2=x, 解得x1=,x2=﹣, ∴AB=2.

∵平移得到的抛物线L1经过点B, ∴BC=AB=2, ∴AC=4.

②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N,如图2, 根据抛物线的轴对称性,得BN=DB=∴OM=

),

2

设抛物线L2的函数表达式为y=a(x﹣由①得,B点的坐标为(∴2=a(

),

2

,2),

解得a=4.

抛物线L2的函数表达式为y=4(x﹣

);

2

(2)如图3,抛物线L3与x轴交于点G,其对称轴与x轴交于点Q,

过点B作BK⊥x轴于点K,

设OK=t,则AB=BD=2t,点B的坐标为(t,at), 根据抛物线的轴对称性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t. 设抛物线L3的函数表达式为y=a3x(x﹣4t),

2

∵该抛物线过点B(t,at),

2

∴at=a3t(t﹣4t), ∵t≠0,

2

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∴=﹣,

2

由题意得,点P的坐标为(2t,﹣4a3t),

22

则﹣4a3t=ax, 解得,x1=﹣EF=∴

=

t, .

t,x2=

t,

【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式,灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键. 24.(12分)(2016?金华)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(﹣6,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.

(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.

(2)若α为锐角,tanα=,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.

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(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为:1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由

【考点】正方形的性质;待定系数法求一次函数解析式. 【分析】(1)先判断出△AEO为正三角形,再根据锐角三角函数求出OM即可; (2)判断出当AE⊥OQ时,线段AE的长最小,用勾股定理计算即可; (3)由△OEP的其中两边之比为:1分三种情况进行计算即可. 【解答】解:(1)如图1,

过点E作EH⊥OA于点H,EF与y轴的交点为M. ∵OE=OA,α=60°, ∴△AEO为正三角形, ∴OH=3,EH=∴E(﹣3,3). ∵∠AOM=90°, ∴∠EOM=30°. 在Rt△EOM中, ∵cos∠EOM=即

=

=3

∴OM=4. ∴M(0,4).

设直线EF的函数表达式为y=kx+4∵该直线过点E(﹣3,3),

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∴﹣3k+4解得k=

=3,

所以,直线EF的函数表达式为y=(2)如图2,

x+4.

射线OQ与OA的夹角为α( α为锐角,tanα). 无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方 形OEFG的顶点E在射线OQ上, ∴当AE⊥OQ时,线段AE的长最小. 在Rt△AOE中,设AE=a,则OE=2a, ∴a+(2a)=6,解得a1=∴OE=2a=

2

2

2

,a2=﹣

2

(舍去), .

,∴S正方形OEFG=OE=

(3)设正方形边长为m. 当点F落在y轴正半轴时. 如图3,

当P与F重合时,△PEO是等腰直角三角形,有在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=6,

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=或=.

∴点P1的坐标为(0,6). 在图3的基础上, 当减小正方形边长时,

点P在边FG 上,△OEP的其中两边之比不可能为当增加正方形边长时,存在如图4,

=

(图4)和

=

:1;

(图5)两种情况.

△EFP是等腰直角三角形, 有即

==

, ,

此时有AP∥OF.

在Rt△AOE中,∠AOE=45°, ∴OE=OA=6,

∴PE=OE=12,PA=PE+AE=18, ∴点P2的坐标为(﹣6,18). 如图5,

过P作PR⊥x轴于点R,延长PG交x轴于点H.设PF=n.

2222222

在Rt△POG中,PO=PG+OG=m+(m+n)=2m+2mn+n,

22222

在Rt△PEF中,PE=PF+EF=m+n, 当

=

2

时,

2

∴PO=2PE.

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