【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）①根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC的长；
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BK⊥x轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函
数表达式，根据抛物线过点B（t，at），求出
2
的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的
值．
22
【解答】解：（1）①二次函数y=x，当y=2时，2=x， 解得x1=，x2=﹣， ∴AB=2．
∵平移得到的抛物线L1经过点B， ∴BC=AB=2， ∴AC=4．
②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2， 根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=∴OM=
．
），
2
，
设抛物线L2的函数表达式为y=a（x﹣由①得，B点的坐标为（∴2=a（
﹣
），
2
，2），
解得a=4．
抛物线L2的函数表达式为y=4（x﹣
）；
2
（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，
过点B作BK⊥x轴于点K，
设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at）， 根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t． 设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x﹣4t），
2
∵该抛物线过点B（t，at），
2
∴at=a3t（t﹣4t）， ∵t≠0，
2
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∴=﹣，
2
由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t），
22
则﹣4a3t=ax， 解得，x1=﹣EF=∴
=
t， ．
t，x2=
t，
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线上点的坐标特征是解题的关键． 24．（12分）（2016?金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
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（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由
【考点】正方形的性质；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可； （2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可； （3）由△OEP的其中两边之比为：1分三种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，
过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M． ∵OE=OA，α=60°， ∴△AEO为正三角形， ∴OH=3，EH=∴E（﹣3，3）． ∵∠AOM=90°， ∴∠EOM=30°． 在Rt△EOM中， ∵cos∠EOM=即
=
，
，
=3
．
∴OM=4． ∴M（0，4）．
设直线EF的函数表达式为y=kx+4∵该直线过点E（﹣3，3），
，
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∴﹣3k+4解得k=
=3，
，
所以，直线EF的函数表达式为y=（2）如图2，
x+4．
射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα）． 无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方 形OEFG的顶点E在射线OQ上， ∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小． 在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a， ∴a+（2a）=6，解得a1=∴OE=2a=
2
2
2
，a2=﹣
2
（舍去）， ．
，∴S正方形OEFG=OE=
（3）设正方形边长为m． 当点F落在y轴正半轴时． 如图3，
当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，
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=或=．
∴点P1的坐标为（0，6）． 在图3的基础上， 当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为当增加正方形边长时，存在如图4，
=
（图4）和
=
：1；
（图5）两种情况．
△EFP是等腰直角三角形， 有即
==
， ，
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE=45°， ∴OE=OA=6，
∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18， ∴点P2的坐标为（﹣6，18）． 如图5，
过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．
2222222
在Rt△POG中，PO=PG+OG=m+（m+n）=2m+2mn+n，
22222
在Rt△PEF中，PE=PF+EF=m+n， 当
=
2
时，
2
∴PO=2PE．
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