f(?8)等于 ( )

A. -1 B. 1 C. 19 D 43

8.已知f（x）是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对xR恒成立，则f（x）=__________.

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1 例1. 求函数y?x的值域。

解：∵x?0

1∴x?0

显然函数的值域是：(??,0)?(0,??)

例2. 求函数y?3?x的值域。

解：∵x?0

??x?0,3?x?3

故函数的值域是：[??,3]

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

y?x2?2x?5,x?[?1,2]的值域。 解：将函数配方得：y?(x?1)2?4 ∵x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

1?x?x2 例4. 求函数

y?1?x2的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程 (y?1)x2?(y?1)x?0 （1）当y?1时，x?R

ymax?8

??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0

13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?故函数的值域为??

例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域。

22解：两边平方整理得：2x?2(y?1)x?y?0（1） ∵x?R

2∴??4(y?1)?8y?0 解得：1?2?y?1?2

但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2

22由??0，仅保证关于x的方程：2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的

?13??2,2?范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为??。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2

?y?x?x(2?x)?0

?ymin?0,y?1?2代入方程（1）

解得：

x1?2?2?2422?[0,2]

时，

原函数的值域为：[0,1?2]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x?4 例6. 求函数5x?6值域。

2?2?242x1?2即当

解：由原函数式可得：则其反函数为：

y?x?4?6y5y?3

4?6y3x?5x?3，其定义域为：5

3?????,?5? 故所求函数的值域为：?

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

ex?1y?x 例7. 求函数e?1的值域。

解：由原函数式可得：∵ex?0

y?1?0y?1∴

ex?y?1y?1

解得：?1?y?1

故所求函数的值域为(?1,1)

cosx 例8. 求函数sinx?3的值域。

解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为：

y?y2?1sinx(x??)?3y sinx(x??)?3yy2?1

即

∵x?R

∴sinx(x??)?[?1,1]

?1?3yy?1?2?1即解得：

22?y?44

?22?,???44??? 故函数的值域为?

6. 函数单调性法

例9. 求函数y?2?log3x?1(2?x?10)的值域。

x?5y?2,y2?log3x?1 1解：令

则y1,y2在[2，10]上都是增函数 所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数

3当x=2时，

5y?2?log3max当x=10时，

x?5ymin?2?3?log2?1?18

9?33

?1??8,33?故所求函数的值域为：??

例10. 求函数y?x?1?x?1的值域。

y?2x?1?x?1 解：原函数可化为：

令y1?x?1,y2?x?1，显然y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数 所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数

2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值2，原函数有最大值显然y?0，故原函数的值域为(0,2]

2?2

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数y?x?x?1的值域。 解：令x?1?t，(t?0) 则x?t2?1

13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵

又t?0，由二次函数的性质可知

当t?0时，ymin?1 当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??)

2y?x?2?1?(x?1) 例12. 求函数

的值域。

解：因1?(x?1)?0

2(x?1)?1 即

故可令x?1?cos?,??[0,?] ∴y?cos??1?1?cos2??sin??cos??1

??2sin(??)?14

2∵

0????,0????5??44

2??sin(??)?124??0?2sin(??)?1?1?24 ??故所求函数的值域为[0,1?

2]

x3?xy?4 例13. 求函数x?2x2?1的值域。

12x1?x2y???221?x1?x2解：原函数可变形为：

2x1?x22?sin2?,?cos?22x?tg?1?x可令，则有1?x

11?y??sin2??cos2???sin4?24

当

??k??1?ymax?4 28时，

k??1?ymin??4 当28时，

而此时tan?有意义。 ???11???4,4?? 故所求函数的值域为?

????x???,? 例14. 求函数y?(sinx?1)(cosx?1)，?122?的值域。

解：y?(sinx?1)(cosx?1)

?sinxcosx?sinx?cosx?1

1sinxcosx?(t2?1)2令sinx?cosx?t，则

11y?(t2?1)?t?1?(t?1)222