中考数学专题复习—数与式

知识点拨

1．了解有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根等概念，了解实数和数轴上的点的一一对应关系，会比较实数的大小，能运用上述知识解决相关问题．

2．理解科学记数法、近似数的精确度、有效数字的概念，会按要求用科学记数法表示数，会用四舍五入法按给定的精确度求数的近似值．

3．弄清多项式乘法与因式分解从运算上看是互逆的，它们都属于整式的恒等变形，能熟练地应用因式分解的方法进行数与式的运算．

4．掌握分式有意义和分式值为零时条件的联系与区别，二次根式及其被开方数都是非负数的条件，清楚分式及二次根式的性质是进行相关运算及化简的重要依据．

5．熟练掌握有关数与式的运算法则，运算律及公式，注意运算的规律和技巧，对于混合运算应做到运算步步有据，保证运算的合理与准确．

考点导析

实数与代数式是初中数学中重要的基础知识，是中考的必考内容．这部分知识散布于多个章节之中，知识点琐碎，但概念性强，在中考试卷中多以填空题、选择题、化简或求值的形式出现．所以在复习时一定要加强对各个概念、性质和公式的辨析和理解．

典题释解

例1 2018年10月15日9时10分，我国神舟五号载人飞船准确进入预定轨道．16日5时59分，返回舱与推进舱分离，返回地面．其间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行的路程约60万千米，则神舟五号飞船绕地球平均每圈约飞行 (用科学记数法表示，结果保留三个有效数字) （ ）

A．4.28×118千米 B．4.29×118千米 C．4.28×118千米 D．4.29×118千米

分析：本题主要考查实数的运算、科学记数法和有效数字．因为1万＝118，60万＝60×118，所以把60×118÷14的近似值首先用科学记数法表示出来，然后再根据有效数字的定义从这个数的左边第一个数字起，确定三个有效数字后，再对第四个数字实施四舍五入即可得到正确的结果4.29×118．

答：B． 反思：有效数字可以说明近似数的精确程度，科学记数法可以将较大或较小的数简明的表示出来，它们的应用十分广泛，是解决日常生活和社会科学中问题的必备知识之一，也是中考的重要知识点．

2例2 若(3?a)与b?1互为相反数，则a?b的值为 ．

2分析：本题难度不大，但所考查的知识点较多，主要考察了互为相反数的概念、非负数的概念与性质、二次根式的化简、代数式求值等多个知识点，理解并熟练掌握这些基础知识，是解决这类问题的关键．

2(3?a)解：由互为相反数的定义，得＋b?1＝0．

2 再根据非负数的性质，得(3?a)＝0，b?1＝0．

解得a?3,b?1．

2?2?3?13?1 ∴a?b．

答：3?1．

反思：实数的重要性质：互为相反数的两个数的和为零；互为倒数的两个数之积等于1．以及非负数的重要性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数同时为零．这些都是中考命题的热点知识．

例3 设a?15，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是 （ ）

A． B． C． -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 D． -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

分析：本题考查无理数范围的估算和数形结合的数学思想方法．因为9＜15＜16，所以

3?15?4，且靠近4，故选B．

反思：加强估算意识的培养和数学思想方法的考察，是提高思维能力和应用意识的重要途径，也是当前课程改革所追求的目标之一，因此对这部分内容的考察也就成为现在中考的热点问题．

例4 扑克牌游戏：小明背对小亮按下列四个步骤操作：

第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆． 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 ． 分析：该题我们当然可以事先按要求假定左、中、右三堆牌的张数，比如：3、3、3等来解答．但却不能解释它的一般性，因此我们要借助数学中列代数式并化简的方法来解决．假设左、中、右三堆牌的张数分别为x、x、x（x≥2），则有 步骤 左 中 右 第一步 第二步 第三步 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 第四步 答：5张． 反思：生活中处处有数学，用所学的数学知识解决实际问题是体现数学价值的重要方法．近几年全国各省市的中考试题中均加大了对具有现实背景问题的考察力度，在复习时对这类问题应引起我们的高度重视．

例5 下列计算中，正确的是

33A．2a?3b?5ab B．a?a?a C．a?a?a D．(?ab)?ab

分析：本题主要考察整式运算的基本方法，特别是对幂的性质的理解和运用．题中涉及多种易错易混的形式，增加了解决问题的难度．应选D．

反思：准确掌握整式的各种运算法则、性质和公式，是解决这类问题的关键．

a a b 例6 如图1，在边长为a的正方形中挖掉

623x－2 x－2+x－2=2x－4 x?2 x x+2 x+2+1=x+3 x+3－（x－2）=5 x x x－1 x－1 222一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部 分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积， 验证了一个等式，这个等式是 （ ）

2

b 图1

b

2222a?b?a?2ab?ba?b?a?ba?b??????A． B．

a?b?C．?2?a2?2ab?b2 D．?a?2b??a?b??a2?ab?2b2

22分析：本题考查我们运用数形结合思想来验证多项式的乘法公式．左边图形的面积可以看作边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积，即为a?b；由于右边的图

形是左边的图形将下边的一个小长方形剪掉后补在了剩下部分的右边而得到的，这个长方形的长为?a?b?，宽为?a?b?，所以它的面积是?a?b??a?b?．他们的面积是相等的．所

22a?b??a?b??a?b?，故选A． 以

反思：此题是一个简单的数形结合问题．如何展示一个公式的几何意义，以及如何从图形中提炼出一个抽象的公式，是近几年中考命题的热点问题．

a2?5a2?11(?1)?2?(a?3)a??3a?1a?2aa例7 已知：．求的值．

分析：关于分式的求值问题，应首先化简，然后再代入求值．化简时要注意运算顺序；

将除法转化为乘法；将分子、分母分解因式，然后再通过通分和约分达到化简的目的．

a2?5?a?1(a?1)(a?1)1??a?1a(a?2)a?3 解 原式＝

(a?3)(a?2)(a?1)(a?1)1??a?1a(a?2)a?3 ＝

a?1 ＝a．

1a?1a??3a ∵，即a＝3．∴原式＝3．

反思：进行分式的运算的关键在于能否掌握通分和约分的方法和技巧，这就需要灵活运

用分式的基本性质．要注意分式的通法与解方程的去分母的区别．代入求值时，要注意整体代入思想的运用．

267153??2??2??2例8 观察下列各等式：2?46?4，5?43?4,7?41?4，10?2??210?4?2?4，……．依据以上各等式成立的规律，在括号内填入适当的数，使等式20()??220?4()?4成立．

分析：通过观察、分析和归纳发现规律：这些等式的左边两项的分子之和等于8，两个分母都分别等于各自的分子减去4；右边都等于2．根据此规律不难发现：应在分子和分母的括号内分别填写－12和－12．

反思：考查学生观察、操作、实验、归纳、猜想、验证等能力，是中考的重点内容之一．学生创新精神和创新意识的培养，往往需要这些能力作前提．

例9 借助计算器探索：

①121?1?2?1?=？ ②12321?1?2?3?2?1?=？ ……

=？

③由此猜想

1234321?1?2?3?4?3?2?1?1234567654321?1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1?分析：观察题中所给数据的特征：

121（1+2+1）=11?2?22；

22212321（1+2+3+2+1）=111?3?333；

= ．

2221234321（1+2+3+4+3+2+1）=1111?4?4444； … …

由此猜想1234567654321（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）=7777777． 答：①22；②333；③4444；猜想结果为：7777777．

反思：借助计算器探究并发现规律，是课程改革发展的方向，是我们将来学习和工作所

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