三、计算下列各题：

x31．设y?xarcsin?tan(2x?1)，求y?。

2

222．设y?f(x)，其中函数f(x)可导，求y?。

3．设y?(1?x)，求y?。

2x

4．设y?x?53x?22，求y?。

6

5．设y?xlnx?sin2x，求y??。

22

dyd2y6．设y?y(x)是由方程e?y?x所确定的隐函数，（1）求；（2）求2。

dxdxy

2?dyd2y?x?t?2t7．设?，（1）求；（2）求2。

tdxdx??y?te

8．求函数y?ln1?x2的微分dy。

7

四、应用题：

1. 已知曲线y?f(x)过(1,0)点，且limx?0f(1?2x)?1，求曲线在点(1,0)处的切线方 x程。

2. 设水管壁的正截面是一个圆环，其外直径为20cm，壁厚为0.4cm，试求此圆环面积的 近似值。

五、设y?f(ex)，且函数f(x)具有二阶导数，证明：y???y??e2xf??(ex)。

8

《高等数学》单元自测题

第三章 微分中值定理与导数的应用

专业 班级 姓名 学号

一、填空题：

1．f(x)?x3?x在[0,3]上是否满足罗尔定理条件________,若满足,则??_________. 2．f(x)?x在[1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件________,若满足,则??______. 3． f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),则f?(x)?0在(1,4)内有实根__________个.

4x3?ax2?bb?_______4．lim. ?8,则a?_____,x?2x?2二、选择题：

1．罗尔定理的三个条件: 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)?f(b)是f(x)在(a,b) 内至少存在一点?使f?(?)?0的( ).

（A）必要条件； （B）充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件.

ex?e?x2．limx?( ).

x???e?e?x（A）1； （B）-1 ； （C）0 ； （D）不存在. 3．y?x?12x?1在区间(?6,??)内( ).

（A）凸增； （B）凸减； （C）凹增； （D）凹减. 4．曲线y?4?3x?1的拐点是( ).

（A）（1,4）； （B）(2,3)； （C） (9,2)； （D） (0,5). 5．下面结论正确的是( ).

（A）驻点一定是极值点； （B）可导函数的极值点一定是驻点； （C）函数的不可导点一定是极值点； （D）函数的极大值一定大于极小值.

2三、计算下列各题：

1．求limx(e?1).

x??1x

9

2．求lim[x?011?].

ln(1?x)x

3．求lim(cosx)x?01x2.

四、应用题：

1．确定函数y?2xe

2．求曲线y?ln(x?1)的拐点及凹、凸区间.

10

22?x的单调区间.