数值分析课后习题和解答 下载本文

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法求具有4位有效数字的近似根 解:(1)取区间在

,在

,则L<1,

满足收敛定理条件,故迭代收敛。 (2)

,在

(3)

迭代法发散。

在迭代(1)及(2)中,因为(2)的迭代因子L较小,故它比(1)收敛快。用(2)迭代,取

,则

,在中有

,在

,且

,故迭代收敛。 附近

,故

3. 设方程 (1) 证明对

的迭代法 ,均有

,其中为方程的根.

,

(2) 取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过并列出各次迭代值.

(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论 解:(1)迭代函数

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,对有

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(2)取

,则有各次迭代值

取(3)

,其误差不超过

故此迭代为线性收敛 4. 给定函数证明对方程解:由于

,设对一切x,

存在,而且

.

均收敛于

的任意常数,迭代法的根

为单调增函数,故方程

的根,,由递

是唯一的(假定方程有根)。迭代函数

。令

推有

,即

,则

5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根,精确到

,令

,得

,

,则有

解:在(2)中

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,与第2题中(2)的结果一致,可取

满足精度要求. 对(3)有

,原迭代不收敛.现令

,则

6. 用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字. (1) (2)解:(1)Newton迭代法

,则

,取

在=2附近的根.

在=1附近的根

(2)令

,则

,取

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7. 应用Newton法于方程式,并讨论其收敛性. 解:方程

的根为

,用Newton迭代法

,求立方根

的迭代公

,故迭代法2阶收敛。

还可证明迭代法整体收敛性。设

一般的,当

时有

这是因为从而

,即

,表明序列

时成立。

,对

单调递减。故对

迭代序列收敛于

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