第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为pV?RT,由此可算得： ??
1.2 证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： lnV??(adT?kdP)，如果a?证明：
dV(T,p)?(?V?V)PdT?()Tdp?T?p 两边除以V,得
11,k?，试求物态方程。 TP1?V11?P11?V1()P?,??()V?;k??()T? V?TTP?TTV?PP
dV1?V1?V?()PdT?()Tdp??dT??dpV?TV?p V
积分后得 lnV??(adT?kdP) 如果
??11,??,Tp
dTdP
?)?lnT?lnP?lnCTP代入上式，得lnV??( 所以物态方程为：PV?CT
与1mol理想气体得物态方程PV=RT相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。
1.3在00C和1atm下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185
1
×10-5K-1，k=7.8×10atm。a和k可以近似看作常数。今使铜加热至10C，
-7
-1
0
问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm，铜块的体积改变多少？
dV1?V1?V?()PdT?()Tdp??dT??dpV?TV?p 解：（a）由上题V
体积不变，即dV?0
a4.85?10?5a?10?622atm 所以dP?dT 即?P??T??7k7.8?10k (b)
?VV2?V1???(T2?T1)??(p2?p1)?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100?4.07?10?4V1V1
可见，体积增加万分之4.07。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是 f(F,L,T)=0。实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为a?1?LL?F()F，等温杨氏模量定义为 Y?()T， L?TA?L其中A是金属丝的截面积。一般来说，?和Y是T的函数，对F仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为
?F??YA?(T2?T1)
证明：（a）设F?F(T,L)，则
??F???F?dF??dT????dL??T?L??L?T （1）
??F???T???L?????????1?T?L?F?L??F??T由于?
2
??F???F???L???????????L?T??T?F所以??T?L （2）
将（2）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得
AY??F???L???F?dF???dT?dL???AYdT?dL?????L??L?T??T?F??L?T（3） （b）当金属丝两端固定时，dL＝0，由（3）式得
dF??aAYdT
当温度由T1降至T2时，积分上式得
?F??YA?(T2?T1)
（4）
L2L0F?bT(?2)L0L，1.5 一理想弹性物质的物态方程为 其中L是长
度，L0是张力F为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常数。试证明：
bTL2L2Y?(?20)AL0L （a） 等温杨氏模量为
Y0?3bTA.
（b） 在张力为零时， 线膨胀系数
1L3/L31dL00?1???0???.TL3/L3?2TdL 0 其中
N . K ?1 ? , b ? 1. 33 ? 10 2
(c) 上述物态方程适用于橡皮带，设T ? 300K，
LA?1?10?6m2,?0?5?10?4K?1.试计算当L0分别为0.5，1.0，1.5和
3
L2.0时的F,Y,?对L0的曲线。
证明：（a）由弹性物质得物态方程，可得
?1?2L2??F?0?3????bT?L???L?T?L0 （1）
将上式代入等温杨氏模量的定义式
?12L2?bT?L2L2?L??F?L00Y???bT??????3?2?A??L?TALLALL?0??0?（2）
当F＝0时，L＝L0，由（2）式得
Y0?bT3bT1?2???AA （3）
（b）在F不变下，将物态方程对T求导，得
???L???L0???L0?22??L??L?L2LL?2L?0?0L?????0??T??LL2??T?T?T?F????????F0FF??0???2??T?24L0L???L0L?????
??L????T??F,可得 由上式解出
?1?LL2?1??L0??L2L200?????????L0??T?F?L0L2?T?L0L2?1??L?1????????0L??T?FT?L2L2?0??2??L0L?LL20?2L0L1???0L2L2T0?2L0LL3?1L30(4)3L?2L30
其中
?0?1dL0L0dT
1.6 1mol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所作的功和所吸收取的热量。
4
解：(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为
W??
?V2V1pdV?RT?V2V1VdV?RTln2,VV1
V2p?1,p2 因为 p1V1?RT,p2V2?RT, 故有 V1?W??RTln
p1?8.31?300ln20?7.46?103J?mol?1.p2
(b) 理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，
3?1求得 Q?W??7.46?10J?mol.
1.7 在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为
?3?623?1V?(18.066?0.715?10p?0.046?10p)cm?mol
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn ,求外界所作的功。
2V?a?bp?cp, 解：写出
?3?6 则 dV= (b+2cp)dp = (?0.715?10?2?0.046?10p)dp
所要求的功
W???pdV???12p(b?2cp)dp??(bp2?cp3)10001V1123?12?????(?0.715)?10?3?(103)2??0.046??10?6?(103)3?3?2?V21000?326.83pn?cm3/mol?33.1J?mol?1(1pn?cm3?0.101324J)
L0,21.8 承前1.5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为试计算外界所作的功。
解：外界对弹性体作的元功表达式为
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