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第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。 解: 理想气体的物态方程为pV?RT,由此可算得: ??

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,P的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得: lnV??(adT?kdP),如果a?证明:

dV(T,p)?(?V?V)PdT?()Tdp?T?p 两边除以V,得

11,k?,试求物态方程。 TP1?V11?P11?V1()P?,??()V?;k??()T? V?TTP?TTV?PP

dV1?V1?V?()PdT?()Tdp??dT??dpV?TV?p V

积分后得 lnV??(adT?kdP) 如果

??11,??,Tp

dTdP

?)?lnT?lnP?lnCTP代入上式,得lnV??( 所以物态方程为:PV?CT

与1mol理想气体得物态方程PV=RT相比较,可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。

1.3在00C和1atm下,测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185

1

×10-5K-1,k=7.8×10atm。a和k可以近似看作常数。今使铜加热至10C,

-7

-1

0

问(1)压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变?(2)若压力增加100atm,铜块的体积改变多少?

dV1?V1?V?()PdT?()Tdp??dT??dpV?TV?p 解:(a)由上题V

体积不变,即dV?0

a4.85?10?5a?10?622atm 所以dP?dT 即?P??T??7k7.8?10k (b)

?VV2?V1???(T2?T1)??(p2?p1)?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100?4.07?10?4V1V1

可见,体积增加万分之4.07。

1.4 描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张力F,物态方程是 f(F,L,T)=0。实验通常在1pn下进行,其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为a?1?LL?F()F,等温杨氏模量定义为 Y?()T, L?TA?L其中A是金属丝的截面积。一般来说,?和Y是T的函数,对F仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T1降至T2时,其张力的增加为

?F??YA?(T2?T1)

证明:(a)设F?F(T,L),则

??F???F?dF??dT????dL??T?L??L?T (1)

??F???T???L?????????1?T?L?F?L??F??T由于?

2

??F???F???L???????????L?T??T?F所以??T?L (2)

将(2)式代入(1)式,并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式,得

AY??F???L???F?dF???dT?dL???AYdT?dL?????L??L?T??T?F??L?T(3) (b)当金属丝两端固定时,dL=0,由(3)式得

dF??aAYdT

当温度由T1降至T2时,积分上式得

?F??YA?(T2?T1)

(4)

L2L0F?bT(?2)L0L,1.5 一理想弹性物质的物态方程为 其中L是长

度,L0是张力F为零时的L值,它只是温度T的函数,b是常数。试证明:

bTL2L2Y?(?20)AL0L (a) 等温杨氏模量为

Y0?3bTA.

(b) 在张力为零时, 线膨胀系数

1L3/L31dL00?1???0???.TL3/L3?2TdL 0 其中

N . K ?1 ? , b ? 1. 33 ? 10 2

(c) 上述物态方程适用于橡皮带,设T ? 300K,

LA?1?10?6m2,?0?5?10?4K?1.试计算当L0分别为0.5,1.0,1.5和

3

L2.0时的F,Y,?对L0的曲线。

证明:(a)由弹性物质得物态方程,可得

?1?2L2??F?0?3????bT?L???L?T?L0 (1)

将上式代入等温杨氏模量的定义式

?12L2?bT?L2L2?L??F?L00Y???bT??????3?2?A??L?TALLALL?0??0?(2)

当F=0时,L=L0,由(2)式得

Y0?bT3bT1?2???AA (3)

(b)在F不变下,将物态方程对T求导,得

???L???L0???L0?22??L??L?L2LL?2L?0?0L?????0??T??LL2??T?T?T?F????????F0FF??0???2??T?24L0L???L0L?????

??L????T??F,可得 由上式解出

?1?LL2?1??L0??L2L200?????????L0??T?F?L0L2?T?L0L2?1??L?1????????0L??T?FT?L2L2?0??2??L0L?LL20?2L0L1???0L2L2T0?2L0LL3?1L30(4)3L?2L30

其中

?0?1dL0L0dT

1.6 1mol理想气体,在27oC的恒温下体积发生膨胀,其压强由20pn准静态地降到1pn,求气体所作的功和所吸收取的热量。

4

解:(a) 在恒温准静态膨胀过程中,理想气体所作的功为

W??

?V2V1pdV?RT?V2V1VdV?RTln2,VV1

V2p?1,p2 因为 p1V1?RT,p2V2?RT, 故有 V1?W??RTln

p1?8.31?300ln20?7.46?103J?mol?1.p2

(b) 理想气体在恒温膨胀过程中,内能不变,根据热力学第一定律,

3?1求得 Q?W??7.46?10J?mol.

1.7 在25oC下,压强在0至1000pn之间,测得水的体积为

?3?623?1V?(18.066?0.715?10p?0.046?10p)cm?mol

如果保持温度不变,将1mol的水从1pn加压至1000pn ,求外界所作的功。

2V?a?bp?cp, 解:写出

?3?6 则 dV= (b+2cp)dp = (?0.715?10?2?0.046?10p)dp

所要求的功

W???pdV???12p(b?2cp)dp??(bp2?cp3)10001V1123?12?????(?0.715)?10?3?(103)2??0.046??10?6?(103)3?3?2?V21000?326.83pn?cm3/mol?33.1J?mol?1(1pn?cm3?0.101324J)

L0,21.8 承前1.5题,使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为试计算外界所作的功。

解:外界对弹性体作的元功表达式为

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