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第一章 解三角形

正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，

abc???2RsinAsinBsinC即 （其中R是三角形外接圆的半径） a?b?cabc???2.变形：1）sin??sin??sinCsin?sin?sinC．

2）化边为角：a:b:c?sinA:sinB:sinC；

asinAbsinBasinA?;?;?; bsinB csinC csinC

3）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC sinAasinBbsinAa?;?;?;sinBbsinCcsinCc 4）化角为边：

sinA? 5）化角为边： 二.三角形面积

abc,sinB?,sinC?2R2R2R

1.

S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB222

三.余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

a?b?c?2bccosA b?a?c?2accosB

222c?a?b?2abcosC

222222b2?c2?a2cosA?2bc2.变形： a2?c2?b2cosB?2ac a2?b2?c2cosC?2ab

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a2?c2?b2?ac?cosB?注意整体代入，如：

利用余弦定理判断三角形形状：

12

设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：

①若，

222c?b?a?A为直角 ②若

，所以为锐角

③若

角三角形

三角形中常见的结论

三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 三角形三边关系：

两边之和大于第三边： 两边之差小于第三边：

，，

，，

， 所以为钝角，则是钝

； ；

在同一个三角形中大边对大角：A?B?a?b?sinA?sinB 4) 三角形内的诱导公式：

(?B?) sinA

siCncosA(?B?)?coCstanA(?B?)?taCn

?CCsin(?)cos()A?B?C22?2tan?tan(?)??CC222cos(?)sin()222

7) 三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

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解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为( ) ππππA. B. C. D. 12643

2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝ (b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( ) πππ2πA. B. C. D. 6323

→→→

3.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，S△ABC＝3，则AB·AC等于( ) A．－2 B．2 C．±4 D．±2

4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 B．2 C.3 D.2

sin B

5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )

sin C

8553A. B. C. D. 5835

6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )

A．1

222266A．－ B. C．－ D. 3333

8．下列判断中正确的是( )

A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解 9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是( )

33333A. B. C.3或 D.或 42224

π310．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tan C为( )

3233

A.3 B．1 C. D.

32

11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是( )

A．等边三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形 12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( ) A．60° B．45°或135°C．120° D．30° 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

sin Acos B

13．在△ABC中，若＝，则B＝________.

ab

14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________． 15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC

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