习题1

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。

2．德布罗意关系为 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

的球壳内粒子出现的几

为 ，在半径为 ，厚度为 率为 。 6．波函数的标准条件

为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质

是 。 10．厄密算符的本征函数具

有 。 11．设

为归一化的动量表象下的波函数，则

的物理意义为

_______________________________________________。 12.

______;

_______;

_________。

___。

28．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．

。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19．设体系的状态波函数为 符

与态矢量

，如在该状态下测量力学量

有确定的值

，则力学量算

为氢原子的波函数，

的取值范围分别

为

的关系为__________。

20．力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为

____________________________。

21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

21．设粒子处于态

数c的取值为 ，

，

本征值为

， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系

的可能值为

出现的几率为 。

22．原子跃迁的选择定则

为 。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系

为 。 24．

为泡利算符，则

，

，

。

25．

为自旋算符，则

，

，

。

26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。

27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。

27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。

27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态

下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时

求平均的结果可表示为______________________。

27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为

的意义为_____________________；

_________________。

二、 计算题

（已归一化），则

1．在 和 的共同表象中，算符 和

的矩阵分别为

，

和

。 对角化。

求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 2． 一维运动粒子的状态是

其中

，求

（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

（利用公式 3． 设在

表象中，

） 的矩阵表示为

其中

，试用微扰论求能级二级修正。（10分）

4． 在自旋态 5．

中，求

。（10分）

也是厄密算符的条件是

的矩阵元。 方向的投影

的本征值和所属的本征函数。

对易。

各是厄密算符。试证明，

的矩阵元和

6． 在动量表象中角动量 7．求自旋角动量在

8．转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场

中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）

（基态波函数

，利用公式

）