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数学物理方程期末考试试题及答案

一、求解方程（15分）

?utt?a2uxx?0? ?ux?at?0??(x)

?u?x?at?0??(x).其中?(0)??(0)。

??＝x?at解：设?则方程变为：

??x?at?u???0，u?F(x?at)?G(x?at)(8’)由边值条件可得：

F(0)?G(2x)??(x),F(2x)?G(0)??(x)

由?(0)??(0)即得：

u(x,t)??(

x?atx?at)??()??(0)。 22 二、利用变量分离法求解方程。（15分）

?utt?a2uxx?0,(x,t)?Q,? ?ux?0?ux?l?0,t?0,?u??(x),utt?0??(x)?t?0

其中0?x?l。a?0为常数

解：设u?X(x)T(t)代于方程得：

X''??X?0，T''??a2T?0(8’)

X?C1cos?x?C2sin?x，T?C1cos?at?C2sin?at 由边值条件得：

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C1?0,??( u?n?2) ln?x l?(Bn?1?ncos?at?Ansin?at)sin Bn?2ln?x2ln?x，?(x)sindxA??(x)sindx n??00llan?l2三．证明方程ut?auxx?cu?0(c?0)具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与

稳定性. (15分)

证明：设v?e?ctu代入方程：

?vt?a2vxx?0? ?vt?0??(x)

?v(0,t)?g(t),v(l,t)?g(t).12? 设v1,v2都是方程的解设v?v1?v2代入方程得：

?vt?a2vxx?0? ?vt?0?0

?v(0,t)?,v(l,t)?0?由极值原理得v?0唯一性得证。(8’)由

v1?v2?v1?v2得证。

???，稳定性得证由v?e?ctu知u的唯一性稳定性

四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分).

?u?uxx?uyy?uzz?0,z?0,

uz?0?f(x).

解：设p(?,?,?)是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点

p(?,?,??) 格林函数：

G(x,y,?,?)??14?14?1(x??)?(y??)?(z??)1(x??)?(y??)?(z??)222222

?

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?G?G???n?zz?0??2?[(x??)?(y??)??]2223/2

方程的解：u(?,?)??2??(x,y)?[(x??)2?(y??)2??2]3/2dx R2五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)

uutt?a2(uxx?uyy)?f(x,y,t)

t?0??(x,y), ??(x,y),

utt?0 u??g(x,y,t).

其中t?0,(x,y)??,?为?的边界.

解:设u1,u2都是方程的解设u?u1?u2代入方程得： utt?a(uxx?uyy)?0 u utt?02?0 ?0

t?0 u??0.

设E(t)?12222[u?a(u?u]dxdy txy??2?

dE(t)?2??[ututt?a2(uxuxt?uyuyt)]dxdy dt? ?2[ut[utt?a(uxx?uyy)]dxdy

???2?0(10’)

E(t)?E(0)?0，u?C，由边值条件得：u?0。(20’)

六 考察边值问题

?u??b(x)uii?1nxi?c(x)u?f