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专题九 反比例函数与几何图形综合题

反比例函数与三角形

【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，

3

－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.

5

(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积．

信达

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分析：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，通过解直角三角形求出线段AE，OE的长度，得出点A的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B的坐标，再求直线AB的解析式，从而可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．

k

解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y＝.∵AE⊥x轴，∴∠AEO

x

322

＝90°.在Rt△AEO中，AO＝5，sin∠AOC＝，∴AE＝AO·sin∠AOC＝3，OE＝AO－AE＝4，

5

12

∴点A的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y＝－

x

(2)易求B(3，－4)，可求直线AB的解析式为y＝－x－1.令一次函数y＝－x－1中y＝

11

0，则0＝－x－1，解得x＝－1，∴C(－1，0)，∴S△AOB＝OC·(yA－yB)＝×1×[3－(－4)]

22

7＝ 2

反比例函数与四边形

【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂

信达

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43

直于x轴，垂足为点Q，已知∠ACB＝60°，点A，C，P均在反比例函数y＝的图象上，

x

分别作PF⊥x轴于点F，AD⊥y轴于点D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．

(1)求点B的坐标；

(2)求四边形AOPE的面积．

b43

分析：(1)设点A(a，b)，则tan60°＝＝3，b＝，联立可求点A的坐标，从而

aa

得出点C，B的坐标；

(2)先求出AQ，PF的长，从而可求点P的坐标和S△OPF，再求出S矩形DEFO，根据S四边形AOPE

＝S矩形DEFO－S△AOD－S△OPF，代入计算即可．

解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ＝60°，∴tan60°＝

AQ

＝3，设点A(a，b)，则OQ

b??a＝3，?a＝2，?a＝－2，

或?(不合题意，舍去)，∴点A的坐标是(2，2?43解得?

?b＝23?b＝－23

b＝，??a

3)，∴

点C的坐标是(－2，－23)，∴点B的坐标是(2，－23)

(2)∵点A的坐标是(2，23)，∴AQ＝23，∴EF＝AQ＝23，∵点P为EF的中点，∴

43

PF＝3，设点P的坐标是(m，n)，则n＝3，∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴3

x431＝，S△OPF＝|43|＝23，∴m＝4，∴OF＝4，∴S

m2

矩形DEFO

＝OF·OD＝4×23＝83，∵

四边形AOPE

431点A在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOD＝|43|＝23，∴S

x2－S△OPF＝83－23－23＝43

＝S

矩形DEFO

－S△AOD

信达