2018届西南名校联盟高三元月考试(理科数学)试题(解析版) 下载本文

∴,即 将点带入直线和圆的方程可得 ∴ ∵∴故选D

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13. 已知向量【答案】97 【解析】∵向量∴∴ ,, ,,,则实数的值等于__________.

故答案为97 14. 【答案】【解析】故答案为 __________. 15. 一个正方体的棱长为2,现有三个球,球切于正方体的各面,球切于正方体的各棱,球过正方体的各顶点,则这个三个球的表面积之和为__________. 【答案】 的半径分别为 【解析】∵由题可知球∴三个球的表面积之和为故答案为16. 设函数 ,若对于任意给定的,函数有且仅有唯一的零点,则正实数的最小值为__________.

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【答案】 【解析】函数∵当当∴时,时,的值域的值域为 的值域为的值域为 上有两个解

在上有且仅有唯一的零点 ∵函数∴方程∴,即有且仅有一解 或 ∵为正实数 ∴ ∴的最小值为 故答案为 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知数列为等差数列,公差为,其前项和为,且

,(1)求数列(2)若数列【答案】(Ⅰ)的通项公式及前项和; 满足 ,, (Ⅱ),求满足或,.

,可分别求出和,即可的通项公式,然后即可求出满足的所有的值.

. 【解析】试题分析:(1)根据求出数列的通项公式及前项和;(2)由(1)求出数列的所有的值. 试题解析:(1)∵页

,7第

∴∴(2)∵, ,得, ,

,∴,得,

,∴ .

,∴ ,

又 ∴,

故由∴或得.

18. 如图,飞镖的标靶呈圆盘形,圆盘被10等分,按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分,某人依次将若干支飞镖投向标靶,如果每次投射都是相互独立的.

(1)如果他投向标靶的飞镖恰有2支且都击中标靶,同时每支飞镖击中标靶的任意位置都是等可能的,求“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”的概率;

(2)如果他投向标靶的飞镖恰有4支,且他投射1支飞镖,击中标靶的概率为,设表示标靶被击中的次数,求的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析

表示事件“第支飞镖,击中第Ⅰ部分”,表示事件“第支飞镖,击中【解析】试题分析:(1)分别设第Ⅰ部分”,表示事件“第1支飞镖,击中第Ⅱ部分”,表示事件“第2支飞镖,击中第Ⅱ部分”,

再设表示事件“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”,然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求出答案;(2)根据题意知的可能取值为,,,,,计算对应的概率,写出随机变量的概率分布,计算数学期望. 试题解析:(1)设表示事件“第支飞镖,击中第Ⅰ部分”,

表示事件“第支飞镖,击中第Ⅰ部分”,

8第

表示事件“第1支飞镖,击中第Ⅱ部分”, 表示事件“第2支飞镖,击中第Ⅱ部分”,

设表示事件“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”, 则有,,

由互斥事件和相互独立事件的概率公式有:

(Ⅱ)的可能取值为,,,,, 依题意知∴, ,, ∴的分布列为:

故的数学期望为:19. 如图,在等腰梯形形中的三角形沿线段中,,上底. . ,下底,点为下底的中点,现将该梯

, , ,

折起,形成四棱锥

(1)在四棱锥(2)若平面中,求证:与平面;

,求直线与平面所成角的正弦值.

所成二面角的平面角为.

,,9第

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】试题分析:(1)由页

,点为的中点,得三角形沿线段折起后可得四边形即可证(1)可证平面为菱形,边长为,,从而与平面与平面平面,取的中点,连接,,,可证,,,即可得证;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,由所成二面角的平面角,从而求出,,,,再求出平面所成角的正弦值.

折起前,为菱形,边长为,,,,点为的中点,

的为平面一个法向量,即可求出直线试题解析:(1)证明:由三角形得三角形沿线段沿线段折起后,四边形,如图,

取的中点,连接和, 平面∥ 平面平面.

, , ,

,,,

∵由题得∴又∴∵∴∵∴均为正三角形, ,

(2)解:以为坐标原点,建立如图的空间直角坐标系,

由平面,有轴在平面,与平面内, ,

所成二面角的平面角,

在(1)中,∵∴∴而为平面, ,∴且,

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