空间向量及其运算复习练习题(含解析2015高考数学一轮) 下载本文

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空间向量及其运算复习练习题(含解析2015高考数学一轮) 空间向量及其运算复习练习题(含解析2015高考数学一轮) A组 基础演练 1.在下列命题中: ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+xc,若三个向量共面,则不能表示空间任意向量,故③不正确,综上可知三个命题中正确的个数为0,故选A. 答案:A 2.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB→=a,AD→=b,AA1→=c,则下列向量中与BM→相等的向量是 ( ) A.-12a+12b+c B.12a+12b+c C.-12a-12b+c D.12a-12b+c 解析:BM→=BB1→+B1M→=AA1→+12(AD→-AB→) =c+12(b-a)=-12a+12b+c. 答案:A 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则 ( ) A.EF至多与A1D、AC之一垂直 B.EF与A1D、AC都垂直 C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 解析:设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1), A1D→=(-1,0,-1),AC→=(-1,1,0), EF→=13,13,-13,BD1→=(-1,-1,1), EF→=-13BD1→,A1D→?EF→=AC→?EF→=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC. 答案:B 4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于 ( ) A.62 B.6 C.12 D.144 解析:因为PC→=PA→+AB→+BC→, 所以PC→2=PA→2+AB→2+BC→2+2AB→?BC→ =36+36+36+2×36cos 60°=144. 所以|PC→|=12. 答案:C 5.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈DP→,AE→〉=33,若以DA,DC,DP所在直线

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分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________. 解析:设PD=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,a2. ∴DP→=(0,0,a),AE→=-1,1,a2, ∵cos〈DP→,AE→〉=33,∴a22=a 2+a24?33,∴a=2. ∴E的坐标为(1,1,1). 答案:(1,1,1) 6.在四面体O-ABC中,OA→=a,OB→=b,OC→=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE→=________(用a,b,c表示). 解析:OE→=12OA→+12OD→=12OA→+14OB→+14OC→ =12a+14b+14c. 答案:12a+14b+14c 7.已知O是空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA→=2xBO→+3yCO→+4zDO→, 则2x+3y+4z=________. 解析:∵A、B、C、D四点共面,∴OA→=mOB→+nOC→+pOD→,且m+n+p=1, 由已知得OA→=-2xOB→-3yOC→-4zOD→, ∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1, ∴2x+3y+4z=-1. 答案:-1 8.如图,在四棱锥M―ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB、AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=AB→,b=AD→,c=AM→,试以a,b,c为基向量表示出向量BN→,并求BN的长. 解析:∵BN→=BC→+CN→=AD→+12CM→ =AD→+12(AM→-AC→)=AD→+12[AM→-(AD→+AB→)] =-12AB→+12AD→+12AM→, ∴BN→=-12a+12b+12c, |BN→|2=BN→2=-12a+12b+12c2 =14(a2+b2+c2-2a?b-2a?c+2b?c) =174, ∴|BN→|=172,即BN的长为172. 答案:172 9.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB→,b=AC→. (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值. 解:(1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a?b=(1,1,0)?(-1,0,2)=-1, 又|a|=12+12+02=2, |b|=-

+02+22=5, ∴cos〈a,b〉

=a?b|a||b|=-110=-1010, 即向量a与向量b的夹角的余弦值为-1010. (2)法一:∵ka+b=(k-1,k,2). ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直, ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, ∴k=2或k=-52,∴当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-52. 法二:由(2)知|a|=2,|b|=5,a?b=-1, ∴(ka+b)?(ka-2b)=k2a2-ka?b-2b2=2k2

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+k-10=0,得k=2或k=-52. B组 能力突破 1.已知A(9,-3,4),B(9,2,1)两点,则与线段AB平行的坐标平面是 ( ) A.xOy B.xOz C.yOz D.xOy或yOz 解析:∵AB→=(0,5,-3), ∴线段AB平行于yOz平面. 答案:C 2.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=π3,则cos〈OA→,BC→〉的值为 ( ) A.0 B.12 C.32 D.22 解析:设OA→=a,OB→=b,OC→=c, 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=π3,且|b|=|c|, OA→?BC→=a?(c-b)=a?c-a?b

=12|a||c|=-12|a||b|=0, ∴cos〈OA→,BC→〉=0. 答案:A 3.如图所示,已知二面角α-l-β的平面角为θθ∈0,π2,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为________. 解析:AD→=AB→+BC→+CD→, 所以AD→2=AB→2+BC→2+CD→2+2AB→?CD→+2AB→?BC→+2BC→?CD→=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ. 所以|AD→|=3-2cos θ, 即AD的长为3-2cos θ. 答案:3-2cosθ 4.直三棱柱ABC―A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 解:(1)证明:设CA→=a,CB→=b,CC′→=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|,且a?b=b?c=c?a=0, ∴CE→=b+12c,A′D→=-c+12b-12a. ∴CE→?A′D→=-12c2+12b2=0. ∴CE→⊥A′D→,即CE⊥A′D. (2)解:∵AC′→=-a+c, |AC′→|=2|a|,|CE→|=52|a|. AC′→?CE→=(-a+c)?b+12c =12c2=12|a|2, ∴cos〈AC′→,CE→〉=12|a|22?52|a|2=1010. 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.