??5?0. ??????9分 23m?4因为 cosC?CA?CBCA?CB?(?1,0)，

所以 ?C?(,π). ??????11分

π2所以 ?B?(0,).

所以 点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上. ??????13分

（19）（本小题满分13分） 已知函数f(x)?acosx?xsinx，x?[?π2ππ,]. 22（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数；

（Ⅲ）当1?a?2时，问函数f(x)有多少个极值点？（只需写出结论）

答案：（Ⅰ）f(x)是偶函数. （Ⅱ）当a?0时，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为0；当a?0时，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为1；当a?0时，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为2. （Ⅲ）3

解析：（Ⅰ）函数f(x)是偶函数，证明如下： ??????1分 对于?x?[?ππππ,]，则?x?[?,]. ??????2分 2222 因为 f(?x)?acos(?x)?xsin(?x)?acosx?xsinx?f(x)，

所以 f(x)是偶函数. ??????4分 （Ⅱ）当a?0时，因为 f(x)?acosx?xsinx?0，x?[?ππ,]恒成立， 22所以 集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为0. ??????5分 当a?0时，令f(x)?xsinx?0，由x?[?得 x?0.

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ππ,]， 22所以 集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为1. ??????6分 当a?0时，因为 f'(x)??asinx?sinx?xcosx?(1?a)sinx?xcosx?0,x?(0,)，

π2π2ππ因为 f(0)?a?0,f()??0，

22π

所以 f(x)在(0,)上只有一个零点.

2

所以 函数f(x)是[0,]上的增函数. ??????8分

由f(x)是偶函数可知，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为2. ??????10分 综上所述，当a?0时，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为0；当a?0时，集合

A?{x|f(x)?0}中元素的个数为1；当a?0时，集合A?{x|f(x)?0}中元素的个数为

2.

（Ⅲ）函数f(x)有3个极值点. ??????13分

（20）（本小题满分14分） 已知集合S?{a1,a2,a3,?S,x?y}满足：,an}(n?3)，集合T?{(x,y)|x?S,y且

?ai,aj?S(i,j?1,2,3,,n,i?j),(ai,aj)?T与(aj,ai)?T恰有一个成立. 对于T定义?1,(a,b)?T,dT(a,b)???0,(b,a)?T,lT(ai)?dT(ai,a?????dT(ai,a?dT(ai,a)dT(ai,an)1)?dT(ai,a2)?i1)?i1?????（i?1,2,3,,n）.

（Ⅰ）若n?4，(a1,a2),(a3,a2),(a2,a4)?T，求lT(a2)的值及lT(a4)的最大值； （Ⅱ）从lT(a1),lT(a2),???,lT(an)中任意删去两个数，记剩下的n?2个数的和为M. 求证：

1M?n(n?5)?3；

2（Ⅲ）对于满足lT(ai)?n?1（i?1,2,3,,n）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个

不同的元素e,f,g，使得dT(e,f)?dT(f,g)?dT(g,e)?3恒成立，并说明理由. 答案：（Ⅰ）lT(a2)?1，lT(a4)取得最大值2.（Ⅱ）略（Ⅲ）对于满足lT(ai)?n?1第 17 页 共 19 页

（i?1,2,3,,n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e,f,g，使得

dT(e,f)?dT(f,g)?dT(g,e)?3恒成立

解析：（Ⅰ）因为 (a1,a2),(a3,a2),(a2,a4)?T，

所以 dT(a2,a1)?0，dT(a2,a3)?0，dT(a2,a4)?1，故lT(a2)?1. ??????1分 因为 (a2,a4)?T，所以 dT(a4,a2)?0.

所以 lT(a4)?dT(a4,a1)?dT(a4,a2)?dT(a4,a3)?1?0?1?2.

所以 当(a2,a4),(a4,a1),(a4,a3)?T时，lT(a4)取得最大值2. ??????3分 （Ⅱ）由dT(a,b)的定义可知：dT(a,b)?dT(b,a)?1. 所以

?li?1nT(ai)?[dT(a1,a2)?dT(a2,a1)]?[dT(a1,a3)?dT(a3,a1)]

2?Cn??????[dT(a1,an)?dT(an,a1)]?????[dT(an?1,an)?dT(an,an?1)]

1n(n?1). ??????6分 2设删去的两个数为lT(ak),lT(am)，则lT(ak)?lT(am)?1n(n?1)?M. 2由题意可知：lT(ak)?n?1,lT(am)?n?1，且当其中一个不等式中等号成立，不放设

lT(ak)?n?1时，dT(ak,am)?1，dT(am,ak)?0.

所以 lT(am)?n?2. ??????7分 所以lT(ak)?lT(am)?n?1?n?2?2n?3. 所以 lT(ak)?lT(am)?11n(n?1)?M?2n?3，即M?n(n?5)?3.??????8分 22（Ⅲ）对于满足lT(ai)?n?1（i?1,2,3,,n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同

的元素e,f,g，使得dT(e,f)?dT(f,g)?dT(g,e)?3恒成立，理由如下： 任取集合T，由lT(ai)?n?1（i?1,2,3,,n）可知， lT(a1),lT(a2),???,lT(an)中存在最大

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数，不妨记为lT(f)（若最大数不唯一，任取一个）. 因为 lT(f)?n?1，

所以 存在e?S，使得dT(f,e)?0，即(e,f)?T. 由lT(f)?1可设集合G?{x?S|(f,x)?T}??.

则G中一定存在元素g使得dT(g,e)?1. 否则，lT(e)?lT(f)?1，与lT(f)是最大数矛盾. 所以 dT(f,g)?1，dT(g,e)?1，即dT(e,f)?dT(f,g)?dT(g,e)?3.

??????14分

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