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BACHELOR ’S THESIS 2.4 判解失误

例10 若方程y2+(6+2i)y+9+6i=0 求它的解.

错解 整理原方程得y2+6y+9+(2y+6)i=0.由复数相等的条件得

ì?y2+6y+9=0? í???2y+6=0 解得 y=-3

剖析 当a,b 是实数时才能 由a+bi=0 得a=0,b=0. 正确解法: D=(6+2i)2-4(9+6i)=-4,

y=-(6+2i) 2i ，

2即得 y1=-3 ，y2=-3-2i.

例11 若二次方程x2+(n+2i)x+2+ni=0有实根，求实数n的值.

错解 因为二次方程有实根，则

D=(n+2i)2-4(2+ni)=n2-12 0 即

n2-12 0

\\n?23 或 n323. 剖析 由于此二次方程的系数中含有虚数 ，所以不能用判别式判断有无实根.

正确解法: 设二次方程的实根为a，则有 a2+(n+2i)a+2+ni=0

ì?a2+na+2=0?由复数相等的条件得 í

?2a+n=0?? \\n= 22.

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BACHELOR ’S THESIS 例12 若2i-3是方程x2-6xi+9=0的一个根，求p的值.

错解 由于2i-3是方程x2-6xi+9=0的一个根，那么另一个根(-2i-3)，由韦达定理得

p=(-2i-3)(2i-3)=13

错误分析: 对于一元二次方程，只有当系数都是实数时，纯根才会成对出现，本题的系数显然不全是实数，因此，虚根不是成对出现的.

正确解法: 设一根为x1.由韦达定理得

ì2i-3+x1=6iì??x=3+4i镲 眄 T镲(2i-3)x=9p=-17-6i1?镱?\\p=-17-6i

2.5表达式失误

2.5.1 代数式失误

例13 在复数集中解方程y4-7y2+4y+20=0. 错解 原方程变形为 (y2-4)2+(y+2)2=0, \\y2-4=0,(y+2)2=0 解得 y1.2= 2 .

剖析 产生错误的原因是：在实数集中，a2+b2=0? a=b=0；但在复数集中，此结论不成立.

正确解法: 原方程变形为

2(y+2)2轾y-2+1=0， ()犏臌 14

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BACHELOR ’S THESIS \\(y+2)2=0或(y-2)2+1=0

解得 y1,2=-2, y3=2+i,y4=2-i.

例14 关于x的方程x2+(2a-i)x-ai+1=0有实根，求实数的取值范围. 错解 因为方程有实根 \\D=(2a-i)2-4(1-ai)=4a-5 0 解得 a35 或a?25 2错误分析:判别式只能用来判定实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)根的情况而该方程中2a-i与1-ai并非实数.

正确解法: 设x0是其实根，代入原方程变形

2 x0+2ax0+1-(a+x0)i=0

由复数相等的定义，得

2ì?x0+2ax0+1=0? í

???x0+a=0解得 a= 1

2.5.2 三角式失误

在教材中，复数的三角形式定义为：形如z=r(cosq+isinq)的形式叫做复数的三角形式．其中r为模，?是复数的辐角．学生在学习的时候，错误地认为只要有三角函数的出现就是三角形式．因此，我们必须强调：r30，复数的实部为rcos?，虚部为rsin?，且?一般用主值表示，并且要认清楚复数在复平面内的位置，只有这要才不致出现错误.

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BACHELOR ’S THESIS 例15 把 1+cosa+isina 化成三角形式，a?(p,2p)． 错解 1+cosa+isina=2cos2aaaa骣aa÷+isincos=2cos?cos+isin÷ ?桫22222?2÷\\1+cosa+isina的三角形式为 2cosa骣aa÷?cos+isin. ÷?÷?桫222错误分析: 复数三角形式有三个要求是 1)模大于零; 2)括号内的实部和虚部是同一个辐角值?的余弦与正弦; 3) cos?与isin?之间用加号连结．

正确解法: ?a?(0,2p)，\\

p?2骣ap÷?cos<0， ，,p÷?÷?桫22aaa+isincos 222 \\1+cosa+isina=2cos2骣aa轾骣a鼢a骣aa÷?珑犏 =2cos?cos+isin÷ =-2coscos珑p+鼢+isinp+鼢珑桫2桫桫2?2÷2犏22臌\\1+cosa+isina的三角形式为-2cos骣aa轾骣a鼢犏． cos珑p++isinp+鼢珑鼢珑犏桫桫2臌22

2.5.3复数幂运算失误 例16 计算(-12+32i)

14骣1143÷错解 (-12+32i) =?-+i÷?÷??2÷桫2143×3=1=1．

n143错误分析: 若z?C,m,n不全是整数时，(zm)1zmn．

骣13÷-+i÷正确解法:??÷??2÷桫2骣1-? =1????2桫414骣13鼢骣13珑鼢=珑-+i?+i 鼢珑鼢珑22桫2桫23′423÷13i÷=--i. ÷÷222 16

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BACHELOR ’S THESIS 骣1-i÷

例17 化简? ÷?÷?桫1+i

轾骣骣1-i1-i犏鼢珑=错解1 珑鼢珑桫桫1+i鼢犏1+i犏臌555225

轾(1-i)=犏犏(1+i)2臌522=（-1） 无意义.

52轾骣骣1-i1-i犏鼢=错解2 珑鼢珑珑桫桫1+i鼢犏1+i犏臌544轾(1-i)=犏4犏(1+i)臌544轾(-2i)=犏2犏(2i)臌524=1=1.

54错误分析: 上述两种错解根源相同，就是将实数中的指数运算法则推广到了复数之中.

骣骣1-i鼢骣1-i 1-i 正确解法: 珑=?鼢 珑 珑桫桫1+i鼢桫1+i 1+i 54(1-i)4(1-i)(1-i) 4(1+i)(1+i)(1-i)(-2i)2-2i=-i. = 2(2i)2

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