第24章 圆

第一节 圆的有关性质

知识点一：圆的定义

1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。

2、圆的特征

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。 （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。

（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。

知识点二：圆的相关概念

1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

注意：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径。因此，在提到到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。 2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．

注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注意：等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 知识点三：圆的对称性

1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 注意：（1）圆的对称轴有无数条

（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。

2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个 角度，所得的图形都与原图形重合。

知识点四：垂径定理及推论（重点）

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB交CD于点E，若 AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。 （2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：CD是非直径的弦，AB是直径，若CE=DE，则AB⊥CD，CB=DB，AC=AD。

注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图 直径AB平分CD，但AB不垂直于CD。

CAOEDB重点剖析 （1）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考 的方法的理论依据。 （2）一条直线如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（被平分的弦不是直径）； 这五条中的任意两条， 那么必然具备其其余三条。 即：①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④BC?BD ⑤AC?AD中 任意2 个条件推出其他3个结论。 3、垂径定理的推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴AC?BD

COABD ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧， 知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等。如图，在⊙O中，若∠AOB=∠COD，则AB=CD，AB=CD.

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所以的其余各组量也相等。

知识点六：圆周角定理及其推论

1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 如图：∠ACB=

11∠AOB，∠ADB=∠AOB. 22 2、圆周角定理的推论：

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，若AB为直径，则∠C=∠D=90°；若∠C或∠D为90°，则AB是直径。 注意：（1）同弧指同一条弧，同一条弧所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等。等 弧是指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧。 （2）“同弧或等弧”改为“同弧弦或等弦”结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角 有两类，它们一般不相等。 知识点七：圆内接多边形 1、圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴?C??BAD?180? ?B??D?180? ?DAE??C

BCDAE第二节 点和圆、直线和圆的位置关系

知识点一：圆的确定

1、过一点作圆：只要以点A外的任意一点

为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以 作出，这样的圆有无数个。

2、过两点作圆：经过两个点A，B作圆，只要以线段 AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或 点B的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个。

3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的 三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此， 圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处，以O为 圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A、B、C 三点的圆，这样的圆有且只有一个。

4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上。

方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。

知识点二：三角形的外接圆

1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆， 2、这个圆叫做三角形的外接圆。